具有最小偏差的德布鲁因序列
De Bruijn Sequences with Minimum Discrepancy
AI总结：
本文解决了二进制 de Bruijn 序列最小偏差的悬而未决问题，确定阶数为 $n$ 的序列最小偏差为 $n$，并提出构造该序列的算法，经修改后适用于任意字母表且偏差仅比平凡下界高 $1$。
摘要：
二进制字符串的偏差是指给定二进制字符串的所有可能子串中，1的数量与0的数量之间的最大（绝对）差值。在本文中，我们确定了阶数为 $n$ 的二进制 de Bruijn 序列所能达到的最小偏差，即 $n$。在此之前，这是一个悬而未决的问题。我们给出了一种算法，用于构造具有最小偏差的二进制 de Bruijn 序列。对该算法稍作修改即可处理任意字母表，并生成阶数为 $n$ 的 de Bruijn 序列，其偏差比平凡下界 $n$ 最多高出 $1$。
英文摘要：
The discrepancy of a binary string is the maximum (absolute) difference between the number of ones and the number of zeroes over all possible substrings of the given binary string. In this note we determine the minimal discrepancy that a binary de Bruijn sequence of order $n$ can achieve, which is $n$. This was an open problem until now. We give an algorithm that constructs a binary de Bruijn sequence with minimal discrepancy. A slight modification of this algorithm deals with arbitrary alphabets and yields de Bruijn sequences of order $n$ with discrepancy at most $1$ above the trivial lower bound $n$.
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