One more proof about the spectrum of Transposition graph
Artem Kravchuk
本文利用 Jucys-Murphy 元素的谱性质，给出了换位图 $T_n$ 的谱的一个新证明。
换位图 $T_n$ 定义为由所有换位生成的对称群 $Sym_n$ 上的凯莱图。本文展示了如何利用 Jucys-Murphy 元素的谱性质来获得 $T_n$ 的谱。
A Transposition graph $T_n$ is defined as a Cayley graph over the symmetric group $Sym_n$ generated by all transpositions. This paper shows how the spectrum of $T_n$ can be obtained using the spectral properties of the Jucys-Murphy elements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Proof of a conjecture on eigenvalues of transposition graph
该研究针对对称群上由所有对换生成的对换图$Cay(S_n,T_n)$，证明了特定区间内的所有整数均为其特征值，解决了Kravchuk近期提出的相关猜想。
Spectrum of Cayley graphs on the symmetric group generated by transpositions
对于整数$n\geq 2$，令$X_n$是由换位集${(1 2),(1 3),...,(1 n)}$生成的对称群$S_n$上的Cayley图。结果表明，$X_n$的谱包含从$-(n-1)$到$n-1$的所有整数（如果是$n=2$或$n=3$，则为0除外）。
Spectrum of the Transposition graph
换位图$T_n$定义为所有换位生成的对称群上的Cayley图。已知$T_n$的所有特征值都是整数。然而，光谱的明确描述是未知的。本文证明了对任意整数$k\geqslant 0$，存在$n_0$使得对任意$n\geqslant n_0$和任意$m \in \{0, \dots, k\}$，$m$是$T_n$的特征值.特别地，证明了对于任何$n\neq2$，零是$T_n$的本征值;对于任何奇数$n\geqslant 7$和任何偶数$n \geqslant 14$，一是$T_n$的本征值.我们还提出了确切的值的第三和第四大特征值的$T_n$与他们的多重性。
Upper bound on the block transposition diameter of the symmetric group
给定对称群${\rm{Sym}}_n$的生成元集$S$，每个置换$π\in {\rm{Sym}_n}$是$S$的字（元素的乘积）。正整数$d(π)$与每个$π\in{\rm{Sym}_n}$相关联，每个$π\in{\rm{Sym}_n}$取最短的这种字的长度，并且$S$直径$d(S)$是$d(π)$的最大值，其中$π$在${\rm{Sym_n}}$范围内。由$d(ν^{-1}\circπ)$定义的两个置换$π,ν$的距离$d(π,ν)$满足度量空间的公理。本文考虑$S$由${\rm{Sym_n}}$的所有块转置组成的情况，称$d(π)$为$π$的块转置距离。对这种特殊情况的研究的强烈动机来自于对基因组大规模突变的调查，其中确定$d(π)$被称为通过块转置对排列$π$进行排序。在有关这一主题的论文中，当$π$和$ν$在环面上等价时，环面等价类自$d(π)=d(ν)$起常常起着至关重要的作用。这个结果的证明可以在（未发表的）豪森博士论文中找到;参见\cite{Ha}。我们的主要贡献是获得一个双射映射${\rm{Sym}_n}$从环面等价，使距离不变。使用这个地图的属性，我们给另一种证明豪森的结果，实际上填补了一个空白的证明的上界$d(S)$由于埃里克森和他的同事;见\cite{EE}。我们还重新审视了关键引理\cite [引理5，1]{EE}的证明，给出了更多细节并填补了一些空白。
Distinct eigenvalues of the Transposition graph
针对换位图 $T_n$ 谱分布未知的问题，论文证明当 $n\geqslant19$ 时，区间 $[-\frac{n-4}{2},\frac{n-4}{2}]$ 内所有整数均为其特征值。
Combinatorial properties of block transpositions on Symmetric groups
在研究置换群的组合方面的一个主要问题是确定对称群$\Sym_n$中关于生成元集的距离。一个众所周知的这样的情况是当生成器集合$S_n$由块换位组成时。需要说明的是，“置换的块转置距离”是该置换与Cayley图$\Cay$中的单位置换的距离，“通过块转置对置换进行排序”等价于在$\Cay$中寻找最短路径。本文的原始结果涉及$\Sym_n$关于$S_n$和自同构群$\Aut(\Cay)$的块转置直径的上下界。一个显着的贡献是显示如何从环面等价可以获得双射映射$\Sym_n$，我们称之为\emph{toric maps}。利用复曲面映射的性质，讨论了复曲面类内块转置距离不变性原理在证明Eriksson界中的作用。进一步证明了$\Aut(\Cay)$是右平移群与$\textsf{N}\rtimes\textsf{D}_{n+1}$的乘积，其中$\textsf{N}$是按元素固定$S_n$的子群，$\textsf{D}_{n+1}$是极大循环子群由环面映射生成的二面体群.计算机辅助计算支持我们的猜想，$\textsf{N}$是平凡的。证明了顶点集为$S_n$的子图$Γ$是$2(n-2)$ -正则图，其自同构群为$\textsf{D}_{n+1}$ .我们证明了$\Cay$的某些方面，特别是$Γ$有多达$n+1$的最大团的大小$2$，它的子图$Γ(V)$的顶点是那些在这些团是一个$3$ -正则…
Constructing segments of quadratic length in $Spec(T_n)$ through segments of linear length
本文研究换位图 T_n 的整数谱分布，证明当 n≥31 时区间 [-n, n] 全部属于谱，并由此构造出关于 n 的二次长度谱片段。
On plane permutations
本文将置换推广到平面置换。我们采用这个框架，以获得一个组合证明的结果Zagier和斯坦利，列举了$n$ -周期$ω$，其中$ω(12\cdots n)$正好有$k$周期的数量。如果$n-k$是奇数，则这个量是$0$，否则是$\frac{2C(n+1,k)}{n(n+1)}$，其中$C(n,k)$是第一类无符号斯特林数。证明是由一个自然的换位行动，平面排列，从而产生各种递归。此外，我们还研究了置换的几个距离问题。事实证明，平面置换允许研究置换的换位和块交换距离以及有符号置换的反转距离。这些不同的距离问题之间的新的连接建立通过平面排列。
Mixing time of Metropolis chain based on random transposition walk converging to multivariate Ewens distribution
证明了一类基于对称群上随机换位洗牌的Metropolis算法以恒等式为起点，收敛到Ewens平衡分布的快速度.的证明在很大程度上依赖于理论的对称杰克多项式，最初开发的杰克[Proc。Soc. Edinburgh Sect.A69（1970/1971）1-18]，Macdonald [Symmetric Functions and Hall Polynomials（1995）New York]和Stanley [Adv.Math.77（1989）76-115]。这完成了Diaconis和Hanlon在[Contemp. 138（1992）99-117]。最后，我们还探讨了其他可积的马尔可夫链，可以得到对称函数理论。
Automorphism groups of Cayley graphs generated by block transpositions and regular Cayley maps
本文研究了Cayley图$\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n),$，其中生成集由所有的块转置组成.研究这些特殊凯莱图的动机来自生物信息学的当前研究。作为主要结果，我们证明了Aut $(\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n))$是左平移群与一个$2(n+1)$阶二面体群$\mathsf{D}_{n+1}$的乘积.证明使用了集合$T_n$诱导的$\mathrm{Cay}(\mathrm{Sym}_n,T_n)$的子图$Γ$的几个性质。特别地，$Γ$是$2(n-2)$ -正则图，其自同构群是$\mathsf{D}_{n+1},$ $Γ$具有多达$n+1$个大小为$2,$的极大团，并且其顶点是这些团中的顶点的子图$Γ(V)$是$3$ -正则、Hamilton和顶点传递图。讨论了$\mathsf{D}_{n+1}$的唯一循环子群与$\mathrm{Sym}_n$上正则Cayley映射的关系.证明了左平移群与后一个群的乘积可以作为$\mathrm{Sym}_n$上的非$t$ -平衡正则Cayley映射的自同构群。
Transposition Cayley Spectra and Subgraph Counts
该研究针对由简单图G构造的对称群凯莱图Γ(G)，通过其群代数算子的谱矩分析逆谱问题，计算低阶矩并推导无三角形图的谱可确定的子图计数组合量，还得到Γ(G)的结构性质。
Beyond Single-Deletion Correcting Codes: Substitutions and Transpositions
我们考虑的问题，设计低冗余代码的设置，其中必须纠正删除与替换或相邻的换位，通常是基于DNA的数据存储中观察到的错误的组合。这个问题的一个最基本的版本在50多年前由Levenshtein解决，或者说一个替代，具有接近最佳的冗余。然而，这种方法无法扩展到二进制单一编辑错误设置的许多简单和自然的变化。在这项工作中，我们在上述代码设计问题上取得了三个这样的变化：我们构建了线性时间可编码和可解码长度- $n$非二进制码，以接近最佳冗余$\log n+O(\log\log n)$纠正单个编辑错误，为Cai，Chee，Gabrys，Kiah和Nguyen的结果提供了一个替代的更简单的证明（IEEE Trans. Inf. Theory 2021）。这是通过采用我们称之为加权VT草图来实现的，这是一个可能具有独立兴趣的概念。我们构造线性时间可编码和列表可解码的二进制码与列表大小的$2$一个删除和一个替换冗余$4\log n+O(\log\log n)$。这将存在性绑定匹配到$O(\log\log n)$加法项。我们表明存在一个二进制码纠正一个删除或一个相邻的换位与近最佳冗余$\log n+O(\log\log n)$。
Diameter of Cayley graphs of permutation groups generated by transposition trees
设$Γ$是由$n$顶点上的换位树$T$生成的置换群的Cayley图。在一个经常被引用的文件\cite{Akers:Krishnamurthy:1989}（也见\cite{Hahn:Sabidussi:1997}），它表明，直径的凯莱图$Γ$是有界的$$\diam(Γ) \le \max_{π\in S_n}{c(π)-n+\sum_{i=1}^n \dist_T(i,π(i))},$$，其中最大化是在所有的排列$π$，$c(π)$表示的循环数在$π$，和$\dist_T$是距离函数在$T$。在这项工作中，我们首先评估的性能（清晰度和严格性）的上限。我们表明，上界是尖锐的最大直径的所有树木，也为所有树木的最小直径，我们展示了一些家庭的树木的界限是严格的。然后，我们表明，对于每一个$n$，存在一棵树上的$n$顶点，使上限和真实直径值之间的差异至少是$n-4$。观察到，评估该上限需要$n!$（乘以多项式）计算的数量级。我们提供了一个算法，获得的估计直径，但它只需要的顺序（多项式）$n$计算;此外，通过我们的算法获得的值小于或等于先前已知的直径上限。这个结果是可能的，因为我们的算法直接使用$n$顶点上的转置树，并且不需要检查任何排列（只有证明需要检查排列）。对于到目前为止检查的所有树族，由我们的算法计算的值$β$恰好也是直径的上界，即$$\diam(Γ) \le β\le \max_{π\…
A note on a Cayley graph of S_n
最近在图论中，一些作者研究了对称群S_n的由（1，i）转置生成的Cayley图的谱，其中2 <= i <= n。作了几次计算，得到了部分结果。本说明的目的是指出，正如P. Renteln也提到的那样，这个问题实际上已经在另一种情况下得到解决。事实上，它相当于研究对称群代数中所谓的朱西斯-墨菲元素的谱，这是很好理解的。前面提到的理论是现有理论的直接结果。我们还提出了一个相关的结果，从P. Biane，给出了这个谱的渐近描述。我们坚持这样一个事实，即本说明不包含任何新的结果，但只被写来传达信息从代数组合学社区图理论家。
A skein action of the symmetric group on noncrossing partitions
引入并研究了对称群$\mathfrak{S}_n$在由$\{1, 2, \dots, n\}$的非交叉划分所张成的向量空间上的一个新作用，其中相邻的换位$(i, i+1) \in \mathfrak{S}_n$通过绞链关系作用于非交叉划分.我们的特征同构类型的结果模块，并使用它来获得新的表示论证明的循环筛选结果由于Reiner-Stanton-White和Pechenik的旋转的行动上的各种类的非交叉分区和行动的K-促进两行矩形增加tableaux。我们的skein关系推广了Kauffman括号（或托勒密关系），可以用来解决任何集划分为一个线性组合的非交叉分区在$\mathfrak{S}_n$ -等变的方式。
Cutoff for conjugacy-invariant random walks on the permutation group
本文证明了Diaconis和Shahshahani（1981）关于共轭类诱导的置换群上随机游动的混合时间的一个猜想。要做到这一点，我们利用与聚结和碎片化过程的连接，并通过使用一个变种的耦合由于奥德施拉姆控制的Kantorovitch距离。用里奇曲率的语言重新描述我们的证明，我们的证明建立了相变的发生，在随机换位的情况下，相变采取以下形式：在时间$cn/2$，对于$c\le 1$曲率渐近为零，对于$c>1$曲率严格为正。
A few remarks on the octopus inequality and Aldous' spectral gap conjecture
D. Aldous可表示为关于由转置生成的对称群上某些Cayley图的Laplacian的第一非平凡特征值的陈述，最近已被Caputo，Liggett和Richthammer证明.他们的证明是两种成分的微妙组合：对称群的群代数中的一个非线性映射，允许通过归纳法归纳证明，以及一个相当困难的估计，称为章鱼不等式。在本文中，我们提出了一个更简单，更透明的证明章鱼不等式，这是自然出现时，从代数的角度来看Aldous'猜想。我们还表明，类似的Aldous'猜想，其中的频谱间隙是由Kazhdan常数取代，一般不成立。
Improving the Gilbert-Varshamov bound for permutation Codes in the Cayley metric and Kendall $τ$-Metric
本文利用图论方法，将凯莱度量和Kendall τ-度量下置换码的Gilbert-Varshamov界分别渐近改进了一个log(n)因子。
An ${\mathfrak S}_3$-cover of $K_4$ and integral polyhedral graphs
该研究通过星图构造了$K_4$的${\mathfrak S}_3$-覆盖，并展示了其在几何和谱分析中的应用。
On the Spectrum of Middle-Cubes
中立方体是由超立方体的中间两层节点组成的诱导子图。中间立方体与著名的旋转门（中间水平）猜想有关。我们研究了中立方图，完全刻画了它的谱。具体来说，我们首先提出了一个简单的证明，它的频谱利用的事实，即该图是相关的约翰逊图，这是距离正则图，其特征值可以使用的关联计划计算。然后，我们从纯图论的角度给出了第二个证明，而没有使用它的距离正则性和结合方案的技术。
The spanning tree spectrum: improved bounds and simple proofs
本文研究 n 顶点图中生成树数目 τ(G) 的可能取值个数，给出简洁组合证明将下界从 1.1103^n 改进到 1.55^n，并证明正则图可实现指数增长，同时建立了生成树数目的模对偶结果。
Completing the spectrum of almost resolvable cycle systems with odd cycle length
本文构造了奇$k\ge 11$的$4k+1$阶的几乎可分解循环系统.这就完成了具有奇循环长度的几乎可解循环系统存在性的证明。
Cutoff profiles for conjugacy invariant random walks on symmetric groups
通过对称群有限级表示的渐近等价，证明具有宏观固定点共轭类的随机游走具有泊松截止轮廓，并给出随机对合游走的截止轮廓及52张牌随机对换游走的数值估计。
The spectrum of the Grigoriev-Laurent pseudomoments
Grigoriev（2001）和Laurent（2003）独立地证明了半定规划的平方和层次并不精确地表示超立方体$\{\pm 1\}^n$，直到度至少为层次的$n$。Laurent还观察到，随着$n$的增加，她的证明构造的伪动量矩阵似乎具有令人惊讶的简单和递归结构的光谱。虽然格里戈里耶夫-洛朗下界的几个新的证明已经出现，洛朗的意见仍然没有得到证明。我们给另一个，表示理论证明的下界，这也产生确切的公式的特征值的格里戈里耶夫-洛朗pseudoments。使用这些，我们证明和阐述劳伦特的意见。我们的论点有两个特点，可能是独立的利益。首先，我们证明了Grigoriev-Laurent伪动量是Bandeira和Kunisky（2020）提出的伪动量的Gram矩阵构造的特殊情况。其次，我们找到了对称群的不可约表示的一个新的实现，对应于两行的Young图，作为空间的多元多项式是多调和的等边单形。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。