分数布朗运动驱动的随机发展方程解的泊松稳定性
Poisson stability of solutions for stochastic evolution equations driven by fractional Brownian motion
AI总结：
本文研究分数布朗运动驱动的随机半线性发展方程，在系数泊松稳定且充分小的条件下证明了解的存在唯一性、泊松稳定性及渐近稳定性，并给出实例验证。
摘要：
本文研究由分数布朗运动驱动的随机半线性发展方程解的泊松稳定性问题：\mathrm{d} X(t)= \left( AX(t) + f(t, X(t)) \right) \mathrm{d}t + g\left(t, X(t)\right)\mathrm{d}B^H_{Q}(t)，其中 A 是作用于可分希尔伯特空间 \mathbb{H} 上的指数稳定线性算子，系数 f 和 g 在时间上是泊松稳定的，B^H_Q(t) 是 Hurst 指数为 H 的 Q-柱分数布朗运动。首先，我们建立了该方程解的存在唯一性。然后，我们证明在函数 f 和 g 充分“小”的条件下，该方程存在一个解，其展现出与 f 和 g 相同的回复性特征。讨论进一步扩展到这些泊松稳定解的渐近稳定性。最后，我们给出一个例子来验证我们的结果。
英文摘要：
In this paper, we study the problem of Poisson stability of solutions for stochastic semi-linear evolution equation driven by fractional Brownian motion \mathrm{d} X(t)= \left( AX(t) + f(t, X(t)) \right) \mathrm{d}t + g\left(t, X(t)\right)\mathrm{d}B^H_{Q}(t), where A is an exponentially stable linear operator acting on a separable Hilbert space \mathbb{H}, coefficients f and g are Poisson stable in time, and B^H_Q (t) is a Q-cylindrical fBm with Hurst index H. First, we establish the existence and uniqueness of the solution for this equation. Then, we prove that under the condition where the functions f and g are sufficiently "small", the equation admits a solution that exhibits the same character of recurrence as f and g. The discussion is further extended to the asymptotic stability of these Poisson stable solutions. Finally, we include an example to validate our results.
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