无界算子的Trotter分裂收敛速率
Convergence Rates for the Trotter Splitting for Unbounded Operators
AI总结：
本文研究无界算子Trotter分裂的收敛速率，通过复插值理论和能量约束技术，为Schrödinger和Dirac算子（含奇异、约束、磁势及三维分子多体Hamilton量）提供显式收敛速率条件。
摘要：
我们研究了强算子拓扑中Trotter分裂 $e^{A+L} = \nlim_{n \to \ninfty} (e^{L/n} e^{A/n})^n$ 的收敛速率。在第一部分中，我们使用复插值理论来处理Banach空间上压缩半群的生成元 $L$ 和 $A$，其中 $L$ 是相对 $A$-有界的。在第二部分中，我们研究Hilbert空间上的酉动力学，并基于能量约束的概念开发了一种新技术。我们的结果为所有常见类型的Schrödinger和Dirac算子（包括奇异、约束和磁矢量势，以及维度 $d=3$ 的分子多体Hamilton量）的Trotter分裂收敛速率提供了完整的图景。利用Brezis-Mironescu不等式，我们推导了具有 $V(x)=\pm |x|^{-a}$ 势的Schrödinger算子的收敛速率。在每种情况下，我们的条件都是完全显式的。
英文摘要：
We study convergence rates of the Trotter splitting $e^{A+L} = \lim_{n \to \infty} (e^{L/n} e^{A/n})^n$ in the strong operator topology. In the first part, we use complex interpolation theory to treat generators $L$ and $A$ of contraction semigroups on Banach spaces, with $L$ relatively $A$-bounded. In the second part, we study unitary dynamics on Hilbert spaces and develop a new technique based on the concept of energy constraints. Our results provide a complete picture of the convergence rates for the Trotter splitting for all common types of Schrödinger and Dirac operators, including singular, confining and magnetic vector potentials, as well as molecular many-body Hamiltonians in dimension $d=3$. Using the Brezis-Mironescu inequality, we derive convergence rates for the Schrödinger operator with $V(x)=\pm |x|^{-a}$ potential. In each case, our conditions are fully explicit.
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