奇异反转 Kloosterman 和
The exotic inverted Kloosterman sum
AI总结：
本文研究 Katz 提出的奇异反转 Kloosterman 和，利用 $\ell$-进上同调证明相应层的秩与权重上界，从而获得预期的平方根消去。
摘要：
设 $B$ 是有限多个有限域的乘积，其中包含 $\mathbb F_q$；设 $\psi:\mathbb F_q\to \overline{\mathbb Q}_\ell^*$ 是非平凡加法特征标，$\chi: B^*\to \overline{\mathbb Q}_\ell^*$ 是乘法特征标。Katz 引入了所谓的奇异反转 Kloosterman 和，其定义为对满足迹非零且范数等于 $a$ 的 $x\in B^*$ 求和，项为 $\chi(x)\psi(1/\mathrm{Tr}_{B/\mathbb F_q}(x))$，其中 $a\in \mathbb F_q^*$。我们利用 $\ell$-进上同调理论估计该和。主要结果表明，除一个平凡项外，相关的奇异反转 Kloosterman 层是秩至多为 $2(n+1)$ 的光滑层，且是权重至多为 $n$ 的混合层，其中 $n+1=\dim_{\mathbb F_q}B$。除平凡主项外，这给出了预期的平方根消去。
英文摘要：
Let $B$ be a product of finitely many finite fields containing $\mathbb F_q$, $ψ:\mathbb F_q\to \overline{\mathbb Q}_\ell^*$ a nontrivial additive character, and $χ: B^*\to \overline{\mathbb Q}_\ell^*$ a multiplicative character. Katz introduced the so-called exotic inverted Kloosterman sum \begin{eqnarray*} \mathrm{EIK}(\mathbb F_q, a):=\sum_{\substack{x\in B^* \\ \mathrm{Tr}_{B/\mathbb F_q}(x)\not =0\\ \mathrm{N}_{B/\mathbb F_q}(x)=a}} χ(x)ψ\Big(\frac{1}{\mathrm{Tr}_{B/\mathbb F_q}(x)}\Big), \ \ a\in \mathbb F_q^*. \end{eqnarray*} We estimate this sum using $\ell$-adic cohomology theory. Our main result is that, up to a trivial term, the associated exotic inverted Kloosterman sheaf is lisse of rank at most $2(n+1)$ and mixed of weight at most $n$, where $n+1 = \dim_{\mathbb F_q}B$. Up to a trivial main term, this gives the expected square root cancellation.
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