流形非各向同性邻域中有理点的计数
Counting Rational Points In Non-Isotropic Neighborhoods of Manifolds
AI总结：
本文研究余维数为R的紧子流形非各向同性邻域内有界分母有理点的计数，在强曲率条件下建立上界，并在各向同性情形得到超出已有范围的渐近公式，同时首次给出流形上加权同时良好逼近点集Hausdorff维数的上界。
摘要：
在本文中，我们开始研究包含在 $\mathbb{R}^{M}$ 中余维数为 $R$ 的紧子流形 $\mathcal{M}$ 的非各向同性 $δ_1\times\ldots\times δ_R$ 邻域内、分母有界的有理点的数量。当 $\mathcal{M}$ 满足强曲率条件时，我们建立了该计数函数的一个上界，该条件由 Schindler-Yamagishi 在 \cite{schindler2022density} 中首次引入。此外，即使在 $δ_1=\ldots=δ_R=δ$ 的各向同性情形下，我们也得到了一个渐近公式，其成立范围超出了 \cite{schindler2022density} 中所建立的到 $\mathcal{M}$ 的距离范围。我们的结果也是对 J.J. Huang \cite{huangduke} 关于超曲面工作的推广。作为应用，我们首次对满足强曲率条件的流形 $\mathcal{M}$ 上加权同时良好逼近点集合的 Hausdorff 维数建立了一个上界，该上界与 Allen-Wang 在 \cite{allen2022note} 中得到的下界一致。此外，对于 $R>1$，我们对 $\mathcal{M}$ 上的有理点数量得到了一个新的上界，该上界超出了 $\mathbb{R}^M$ 子流形的 Serre 维数增长猜想类比中的界。
英文摘要：
In this manuscript, we initiate the study of the number of rational points with bounded denominators, contained in a non-isotropic $δ_1\times\ldots\times δ_R$ neighborhood of a compact submanifold $\mathcal{M}$ of codimension $R$ in $\mathbb{R}^{M}$. We establish an upper bound for this counting function which holds when $\mathcal{M}$ satisfies a strong curvature condition, first introduced by Schindler-Yamagishi in \cite{schindler2022density}. Further, even in the isotropic case when $δ_1=\ldots=δ_R=δ$, we obtain an asymptotic formula which holds beyond the range of distance to $\mathcal{M}$ established in \cite{schindler2022density}. Our result is also a generalization of the work of J.J. Huang \cite{huangduke} for hypersurfaces. As an application, we establish for the first time an upper bound for the Hausdorff dimension of the set of weighted simultaneously well approximable points on a manifold $\mathcal{M}$ satisfying the strong curvature condition, which agrees with the lower bound obtained by Allen-Wang in \cite{allen2022note}. Moreover, for $R>1$, we obtain a new upper bound for the number of rational points \textit{on} $\mathcal{M}$, which goes beyond the bound in an analogue of Serre's dimension growth conjecture for submanifolds of $\mathbb{R}^M$ .
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
