Communication Complexities of XOR functions
如果对于任何$x, y\in\{0, 1\}^n$，对于函数$S:\{0, 1, ..., n\}\to\{0, 1\}$，我们将$F:\{0, 1\}^n\times \{0, 1\}^n\to\{0, 1\}$称为对称异或函数，其中$|x\oplus y|$是$x$和$y$的按位异或的海明权重。$F(x, y)=S(|x\oplus y|)$。我们表明，对于任何这样的功能，（a）确定性的通信复杂性总是$Θ(n)$，除了四个简单的功能，具有恒定的复杂性，和（b）的polylog因子，错误有界的随机和量子通信复杂性是$Θ(r_0+r_1)$，其中$r_0$和$r_1$是最小整数，使$r_0, r_1\leq n/2$和$S(k)=S(k+2)$的所有$k\in[r_0, n-r_1)$。
2008-08-20 cs.CC quant-ph
Superconstant Inapproximability of Decision Tree Learning
Stanford（斯坦福大学）
本文证明带查询的决策树恰当 PAC 学习在允许任意常数因子近似最优假设树时仍为 NP 难，并通过新证明和新的 XOR 引理实现了困难性假设与不可近似性因子之间的平滑权衡，同时为决策树最小化问题提供了新推论。
2024-07-01 cs.CC cs.DS cs.LG
One-Way Communication Complexity of Partial XOR Functions
本文研究了部分 XOR 函数的单向通信复杂度与非自适应奇偶决策树复杂度之间的联系，构建了线性代数框架并利用覆盖码归约，证明了二者在未定义输入较少时相等，但在广泛取值范围内存在分离甚至指数级差距。
2024-05-31 cs.CC
Intersection and Union Hierarchies of Deterministic Context-Free Languages and Pumping Lemmas
本文研究了确定性上下文无关语言有限交集与并集的计算复杂性，针对非受限语言提出两个实用的泵引理，借此证明语言对交集层次结构的非成员关系，并探讨了与确定性受限自动机的联系。
2025-10-06 cs.CC cs.FL
Strong direct product theorems for quantum communication and query complexity
强直积定理（SDPT）指出，解决一个问题的n个实例需要Omega（n）乘以单个实例的资源，甚至达到成功概率exp（-Omega（n））。我们证明了量子通信复杂性服从SDPT的通信下界为一个单一的实例，证明了广义差异的方法，在该模型中最强的技术。我们证明了量子查询复杂性服从SDPT时，查询下限为一个单一的实例证明了多项式方法，在该模型中的两个主要技术之一。在这两个模型中，我们证明了相应的异或引理和阈值直积定理。
2010-11-22 cs.CC quant-ph
Gap-Majority Lemmas in Communication Complexity
Princeton University（普林斯顿大学）
研究在两人随机通信模型中证明间隙多数引理，表明计算$f$的信息需求与计算$\mathsf{GapMAJ}\circ f^n$的信息需求关系，此结果渐近最优，还能作为放大工具，用于推导通信和流计算的下界。
2026-07-09 cs.CC cs.DS
Constructive noncommutative rank computation is in deterministic polynomial time
我们扩展了我们在2017年发表在计算复杂性（预印本：arXiv：1508.00690）上的早期论文中开发的技术，以获得一个确定性的多项式时间算法，用于计算非交换秩以及足够大的基域上的矩阵线性空间的证书。关键的新思想是一个减少过程，保持爆破参数小，有两种方法来实现这个想法：第一个是一个贪婪的参数，删除某些行和列，第二个是一个有效的算法版本的结果Derksen和Makam。这两种方法都依赖于我们前面提到的论文中的正则性引理，在这篇论文中，我们还通过删除互质条件来改进引理。
2018-02-05 cs.CC cs.DS math.AC
Average-case deterministic query complexity of boolean functions with fixed weight
本文研究均匀分布下布尔函数的平均情形确定性查询复杂度，给出固定权重函数的近紧上界，并利用切换引理分析 CNF/DNF 公式及构造匹配下界。
2025-06-11 cs.CC
One-way communication complexity and non-adaptive decision trees
我们研究了组合函数的各种单向通信复杂性度量与外部函数的类似决策树复杂性之间的关系。我们考虑两个小工具：在2个输入上的AND函数，以及在恒定数量的输入上的内积。令$IP$表示$2b$位上的内积。- 如果$f$是依赖于其所有输入的全布尔函数，则$f \circ IP$的有界误差单向量子通信复杂性等于$Ω(n(b-1))$。- 如果$f$是部分布尔函数，则$f \circ IP$的确定性单向通信复杂性至少为$Ω(b \cdot D_{dt}^{\rightarrow}(f))$，其中$D_{dt}^{\rightarrow}(f)$表示$f$的非自适应决策树复杂性。Montanaro和Osborne [arXiv'09]观察到$f \circ XOR_2$的确定性单向通信复杂性等于$f$的非自适应奇偶校验决策树复杂性。相比之下，我们使用小工具$AND_2$显示以下内容。- 在$f \circ AND_2$的确定性单向通信复杂性中，存在甚至$f$的量子非自适应AND决策树复杂性也指数地大的函数。- 对于对称函数$f$，$f$的非自适应AND决策树复杂度至多是$f \circ AND_2$的（偶数双向）通信复杂性的二次。鉴于第一点，$f$的非自适应AND决策树复杂度的下限不会提升到$f \circ AND_2$的单向通信复杂性的下限。在我们的最终结果中，我们表明，对于所有的$f$，$F = …
2022-01-16 cs.CC
Derandomizing the Lovasz Local Lemma more effectively
著名的Lovasz局部引理[EL 75]是一个强有力的工具，可以非构造性地证明满足一系列规定标准的组合对象的存在性。Kratochvil等人应用这种技术证明了一个k-CNF，其中每个变量最多出现2^k/（ek）次总是可满足的[KST 93]。在一篇突破性的论文中，Beck发现，如果我们将出现次数降低到O（2^（k/48）/k），那么确定性多项式时间算法可以为这样的实例找到令人满意的分配[Bec 91]。Alon将算法随机化，需要O（2^（k/8）/k）次出现[Alo 91]。在[Mos 06]中，我们展示了他的方法的一个改进，其处理时间为O（2^（k/6）/k）。迄今为止最著名的随机算法是由Srinivasan提出的，能够解决O（2^（k/4）/k）个发生实例[Sri 08]。回答Srinivasan提出的两个问题，我们现在将提出一种方法，该方法允许每个变量O（2^（k/2）/k）次出现，并且可以最容易地去随机化。新算法基于另一种类型的见证树结构，并放弃了所有以前的方法共同的一些限制方面。
2008-09-15 cs.CC cs.DS
On the Power of Multiplexing in Number-on-the-Forehead Protocols
研究了$k$ -方“前额上的数字”（NOF）确定性通信复杂性的直和问题.我们证明了几个积极的结果，表明在这个模型中计算函数$f$的复杂性，在$\ell$的情况下，可能是显着便宜的$\ell$倍的复杂性计算$f$在一个单一的实例。令人惊讶的是，我们证明了这是“most”（布尔，$k$ -参数）函数的情况。然后，我们正式两种类型的NOF协议$Q$的充分条件，对于一个单一的实例，其中每一个保证一些通信复杂性节省时，适当地扩展$Q$工作在$\ell$实例。一个这样的条件指的是每一方需要知道关于其他方的输入的什么，另外，另一个条件指的是单实例协议$Q$使用的通信模式。在这两种情况下，我们使用的工具是“多路复用”：我们将单个实例的协议并行执行中发送的消息合并为多实例（直接和）情况下的单个消息，通过将它们彼此异或。
2014-02-21 cs.CC
Fourier sparsity, spectral norm, and the Log-rank conjecture
We study Boolean functions with sparse Fourier coefficients or small spectral norm, and show their applications to the Log-rank Conjecture for XOR functions f(x \oplus y) --- a fairly large class of functions including well studied ones such as Equality and Hamming Distance. The rank of the communication matrix M_f for such functions is exactly the Fourier sparsity of f. Let d be the F2-degree of f and D^CC(f) stand for the deterministic communication complexity for f(x \oplus y). We show that 1. D^CC(f) = O(2^{d^2/2} log^{d-2} || \hat f||_1). In particular, the Log-rank conjecture holds for X…
2013-04-09 cs.CC
PPT: New Low Complexity Deterministic Primality Tests Leveraging Explicit and Implicit Non-Residues. A Set of Three Companion Manuscripts
在这三篇配套的手稿/文章中，我们公布了我们关于素性测试的新结果，并揭示了由这些结果实现的新的素性测试算法。只要我们有完整的分析证明，结果就被分类（和引用）为引理/推论/主张;否则结果就被引入为证明。在第1部分中，我们从基线素性猜想（PBPC）开始，当二次非剩余（QNR）模N的显式值可用时（这恰好是绝大多数= 11/12 = 91.67%所有奇数的情况），它可以实现低复杂度= O（（log N）^2）的确定性素性检测。然后，我们展示了素性引理PL-1，它揭示了最先进的米勒-拉宾方法和著名的欧拉准则之间的密切联系。这个引理，加上基线素性猜想，使米勒-拉宾迭代和我们的方法的协同融合，导致混合算法，大大优于其组件。接下来，我们说明了如何通过使用以下形式的关系来规避QNR的显式值的要求：多项式（x）mod N = 0 ;其解决方案隐式地指定非剩余模N。然后，我们开发了一种方法来导出低次规范多项式，它们共同保证了隐式的模N无余数;它与广义素性猜想一起使算法能够实现最坏情况下的确定性多项式复杂度= O（（log N）^3 polylog（log N））;无条件地;对于任何/所有N值。在第2部分中，我们提出了大量的实验数据，证实了所有的假设。最后，在第三篇中，我们给出了基线素性猜想的解析证明，在某些特殊情况下，我们已经完成了这一证明。
2019-08-20 cs.CC cs.CR cs.DS
A pumping lemma for non-cooperative self-assembly
我们证明了一个结果，这强烈暗示了计算的弱点，到目前为止，抵制了许多尝试的正式分析或积极的建设的瓷砖组装模型。具体地说，我们证明了，在Winfree的抽象瓦片组装模型中，当限制为只使用非合作绑定时，任何从种子开始的、可以在所有终端组装中生长的足够长的路径都是可泵的，这意味着该路径可以扩展成无限的、最终周期性的路径。这一结果可以看作是有限状态自动机的泵引理的几何推广，并且解决了在这个模型中可以确定性地计算什么的问题。此外，这个问题激发了一种称为可见胶的新方法的发展。我们相信，这种方法也可以用来解决其他长期存在的问题，在计算几何，例如与自避免路径。瓦片组装（包括非合作瓦片组装）最初是由Winfree和Rothemund在STOC 2000中引入的，以了解如何对形状进行编程。非协作变体，也称为温度1瓦片组装，是允许瓦片一旦在一侧匹配就绑定的模型，而在协作瓦片组装中，一些瓦片需要在多个侧上匹配才能绑定。之前，只有一个已知的结果（SODA 2014）显示了对一般非合作自组装可以实现的组件的限制，而对其计算表现力没有任何影响。对于非正方形瓷砖（如polyominos，SODA 2015），最近的其他工作表明，该模型在计算上很快变得强大。
2016-10-27 cs.CC cs.FL
A pumping lemma for non-cooperative self-assembly
我们证明了计算的瓷砖组装模型，迄今为止，抵制了许多尝试的正式分析或积极的建设的弱点。具体地说，我们证明了，在Winfree的抽象瓦片组装模型中，当限制为只使用非合作绑定时，任何可以在所有终端组装中增长的足够长的路径都是可泵的，这意味着该路径可以扩展为无限的，最终周期性的路径。这一结果可以看作是有限状态自动机的泵引理的几何推广，并且解决了在这个模型中可以确定性地计算什么的问题。此外，这个问题激发了一种称为可见胶的新方法的发展。我们相信，这种方法也可以用来解决其他长期存在的问题，在计算几何，例如与自避免路径。瓦片组装（包括非合作瓦片组装）最初是由Winfree和Rothemund在STOC 2000中引入的，以了解如何对形状进行编程。非协作变体，也称为温度1瓦片组装，是允许瓦片一旦在一侧匹配就绑定的模型，而在协作瓦片组装中，一些瓦片需要在多个侧上匹配才能绑定。在这项工作中，我们证明了只有非常简单的形状确实可以编程，而确切地说，一个已知的结果（SODA 2014）显示了对一般非合作自组装可以实现的组件的限制，而对其计算表现力没有任何影响。对于非正方形瓷砖（如polyominos，SODA 2015），最近的其他工作表明，该模型在计算上很快变得强大。
2015-07-30 cs.CC cs.DM
NP-Hardness and Additive Inapproximability of Deterministic Communication Complexity
University of New South Wales（新南威尔士大学）；University of Massachusetts Amherst（马萨诸塞大学阿默斯特分校）
本文证明在标准协议树深度模型下，给定布尔函数真值表计算其确定性通信复杂度是NP完全问题，通过放松交错框架实现，解决了Yao在1979年提出的核心问题。
2026-10-23 cs.CC cs.DS math.CO
An MDL-Style Cost Functional KC, Distribution-Preserving Reductions ($A2^d$), and an $AC^0$+log Lower Bound for 3SAT via Balanced 3XOR
本文提出MDL风格代价泛函KC和保分布归约引理A2^d，通过平衡3XOR到3SAT的测度保持转换，首次在浅层电路下界中给出规模感知界限的KC解读。
2025-09-17 cs.CC cs.IT cs.LO
