反驳 Hooley 猜想的一个较弱形式
Disproving a weaker form of Hooley's conjecture
AI总结：
本文研究带阻尼加权因子的素数方差函数 $G_η(x;q)$，证明即使加入阻尼因子，在 $q \asymp \log \log x$ 范围内形如 $G_η(x;q) \ll x\log q$ 的估计仍不成立，从而反驳了 Hooley 猜想的一个较弱形式。
摘要：
Hooley 曾猜想，当 $q\to +\infty$ 时，$G(x;q) \ll x\log q$，其中 $G(x;q)$ 表示素数 $p \leq x$ 在模 $q$ 算术级数中按 $\log p$ 加权的方差。本文研究 $G_η(x;q)$，这是一个与 $G(x;q)$ 类似的函数，但包含加权因子 $η\left(\frac{p}{x}\right)$，该因子对 $G_η$ 的值具有阻尼作用。我们的研究受到 Fiorilli 和 Martin 在 $q \asymp \log \log x$ 范围内反驳 Hooley 猜想的启发。尽管该加权因子会抑制数值，我们仍然证明形如 $G_η(x;q) \ll x\log q$ 的估计在同一范围内不成立。
英文摘要：
Hooley conjectured that $G(x;q) \ll x\log q$, as soon as $q\to +\infty$, where $G(x;q)$ represents the variance of primes $p \leq x$ in arithmetic progressions modulo $q$, weighted by $\log p$. In this paper, we study $G_η(x;q)$, a function similar to $G(x;q)$, but including the weighting factor $η\left(\frac{p}{x}\right)$, which has a dampening effect on the values of $G_η$. Our study is motivated by the disproof of Hooley's conjecture by Fiorilli and Martin in the range $q \asymp \log \log x$. Even though this weighting factor dampens the values, we still prove that an estimation of the form $G_η(x;q) \ll x\log q$ is false in the same range.
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