零积与零 Jordan 积决定的 Munn 代数
Zero product and zero Jordan product determined Munn algebras
AI总结：
本文研究除环上 Munn 代数的代数结构，证明在秩不小于2时其元素可表示为换位子对的有限乘积之和，并证明在特征不为2、3的域上该代数是零积决定和零 Jordan 积决定的。
摘要：
设 $\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ 为除环 $\mathbb{D}$ 上所有 $m \times n$ 矩阵构成的环，其乘法由 $A \bullet B=A P B$ 给出，其中 $P$ 是 $\mathbb{D}$ 上一个固定的 $n \times m$ 矩阵。当 $2\leq m, n <\infty$ 且 $\operatorname{rank} P \geq 2$ 时，我们证明 $\mathcal{A}=\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ 中的每个元素都是有限个换位子对的乘积之和。我们还估计了使得 $\mathcal{A}= \sum^N [\mathcal{A}, \mathcal{A}][\mathcal{A}, \mathcal{A}]$ 成立的最小数目 $N$。此外，若 $\operatorname{char}\mathbb{D}\neq 2$，我们证明 $\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ 可由幂等元的 Jordan 乘积加法生成。对于满足 $\operatorname{char}\mathbb{F}\neq 2, 3$ 的域 $\mathbb{F}$，我们证明 Munn 代数 $\mathfrak{M}(\mathbb{F}, m, n, P)$ 是零积决定的，也是零 Jordan 积决定的。
英文摘要：
Let $\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ be the ring of all $m \times n$ matrices over a division ring $\mathbb{D}$, with the product given by $A \bullet B=A P B$, where $P$ is a fixed $n \times m$ matrix over $\mathbb{D}$. When $2\leq m, n <\infty$ and $\operatorname{rank} P \geq 2$, we demonstrate that every element in $\mathcal{A}=\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ is a sum of finite products of pairs of commutators. We also estimate the minimal number $N$ such that $\mathcal{A}= \sum^N [\mathcal{A}, \mathcal{A}][\mathcal{A}, \mathcal{A}]$. Furthermore, if $\operatorname{char}\mathbb{D}\neq 2$, we prove that $\mathfrak{M}(\mathbb{D}, m, n, P)$ is additively spanned by Jordan products of idempotents. For a field $\mathbb{F}$ with $\operatorname{char}\mathbb{F}\neq 2, 3$, we show that the Munn algebra $\mathfrak{M}(\mathbb{F}, m, n, P)$ is zero product determined and zero Jordan product determined.
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