arXiv 2407.007752024-07math.AP

关于平面中退化椭圆方程的 $C^1$ 正则性

On $C^1$ regularity for degenerate elliptic equations in the plane

Thibault Lacombe, Xavier Lamy

AI总结：

本文研究平面中退化椭圆方程 div G(∇u)=0 的 Lipschitz 解的 C^1 正则性，在比 De Silva-Savin 更弱的有限退化集假设下，利用共轭方程转移估计证明了 C^1 正则性，并分析了非梯度情形下反对称部分的影响。

摘要：

我们证明，在 $B_1\subset\mathbb R^2$ 中满足 $\mathrm{div}\\, G(\nabla u)=0$ 的 Lipschitz 解 $u$ 是 $C^1$ 的，其中向量场 $G\in C^0(\mathbb R^2;\mathbb R^2)$ 严格单调且满足一个温和的椭圆性条件。若 $G=\nabla F$，其中 $F$ 是严格凸函数，且 $0\leq λ(ξ)\leq Λ(ξ)$ 是 $\nabla^2 F(ξ)$ 的两个特征值，我们的假设是集合 $\lbraceλ=0\rbrace \cap \lbrace Λ=\infty\rbrace$（即椭圆性同时从下方和上方退化的点集）是有限的。这推广了 De Silva 和 Savin（Duke Math. J. 151, No. 3, p.487-532, 2010）的结果，他们假设该集合为空集，或更大的集合 $\lbrace λ=0\rbrace$ 有限。我们的主要新贡献是通过一个共轭方程，将 $\lbrace λ> 0 \rbrace$ 中的估计转移到 $\lbrace Λ<\infty\rbrace$ 中的估计。当 $G$ 不是梯度时，椭圆性假设需要以特定方式解释，我们强调了 $\nabla G$ 的反对称部分所产生的非平凡影响。

英文摘要：

We show that Lipschitz solutions $u$ of $\mathrm{div}\, G(\nabla u)=0$ in $B_1\subset\mathbb R^2$ are $C^1$, for strictly monotone vector fields $G\in C^0(\mathbb R^2;\mathbb R^2)$ satisfying a mild ellipticity condition. If $G=\nabla F$ for a strictly convex function $F$, and $0\leq λ(ξ)\leq Λ(ξ)$ are the two eigenvalues of $\nabla^2 F(ξ)$, our assumption is that the set $\lbraceλ=0\rbrace \cap \lbrace Λ=\infty\rbrace$, where ellipticity degenerates $both$ from below and from above, is finite. This extends results by De Silva and Savin (Duke Math. J. 151, No. 3, p.487-532, 2010), which assumed either that set empty, or the larger set $\lbrace λ=0\rbrace$ finite. Our main new input is to transfer estimates in $\lbrace λ> 0 \rbrace $ to estimates in $\lbrace Λ<\infty\rbrace$ by means of a conjugate equation. When $G$ is not a gradient, the ellipticity assumption needs to be interpreted in a specific way, and we highlight the nontrivial effect of the antisymmetric part of $\nabla G$.

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AI总结：

摘要：

英文摘要：

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