Alon 传输问题与多色 Beck–Spencer 引理
Alon's transmitting problem and multicolor Beck--Spencer Lemma
AI总结：
本文将 Alon 的传输问题从二元 Hamming 图推广到 q 元情形，通过多色浮动变量方法推广 Beck–Spencer 引理，证明了对任意 q≥3 的 Hamming 图存在满足距离下界条件的顶点。
摘要：
Hamming 图 $H(n,q)$ 定义在顶点集 $\{1,2,\ldots,q\}^n$ 上，两个顶点相邻当且仅当它们恰好在某一个坐标上不同。Alon (1992) 证明了对于 $H(n,2)$ 中任意 $b=\lceil\frac n2\rceil$ 个顶点构成的序列 $v_1,\ldots,v_b$，存在一个顶点，使得对所有 $1\leq i\leq b$，该顶点到 $v_i$ 的距离至少为 $b-i+1$。在本文中，我们证明对于任意 $q\geq 3$ 以及 $H(n,q)$ 中任意 $b=\lfloor(1-\frac1q)n\rfloor$ 个顶点构成的序列 $v_1,\ldots,v_b$，存在一个顶点，使得对所有 $1\leq i\leq b$，该顶点到 $v_i$ 的距离至少为 $b-i+1$。Alon 使用了 Beck 和 Spencer (1983) 的一个引理，而该引理又基于 Beck 和 Fiala (1981) 在研究组合偏差时引入的浮动变量方法。为了完成我们的证明，我们利用 Doerr 和 Srivastav (2003) 给出的浮动变量方法的多色版本，推广了 Beck–Spencer 引理。
英文摘要：
The Hamming graph $H(n,q)$ is defined on the vertex set $\{1,2,\ldots,q\}^n$ and two vertices are adjacent if and only if they differ in precisely one coordinate. Alon (1992) proved that for any sequence $v_1,\ldots,v_b$ of $b=\lceil\frac n2\rceil$ vertices of $H(n,2)$, there is a vertex whose distance from $v_i$ is at least $b-i+1$ for all $1\leq i\leq b$. In this note, we prove that for any $q\geq 3$ and any sequence $v_1,\ldots,v_b$ of $b=\lfloor(1-\frac1q)n\rfloor$ vertices of $H(n,q)$, there is a vertex whose distance from $v_i$ is at least $b-i+1$ for all $1\leq i\leq b$. Alon used a lemma due to Beck and Spencer (1983) which, in turn, was based on the floating variable method introduced by Beck and Fiala (1981) who studied combinatorial discrepancies. For our proof, we extend the Beck--Spencer Lemma by using a multicolor version of the floating variable method due to Doerr and Srivastav (2003).
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