强九树猜想的一个近似版本
An Approximate Version of the Strong Nine Dragon Tree Conjecture
AI总结：
本文通过放宽边数上界，证明了强九树猜想的一个近似版本，给出了在给定图密度条件下将边集划分为多个森林并控制其中一个森林连通分量边数的充分条件。
摘要：
我们证明，如果将边数上界替换为 $d + \big\lceil k \big\lfloor\frac{d-1}{k+1}\big\rfloor \big(\frac{d}{k+1} - \frac{1}{2} \big\lceil\frac{d}{k+1}\big\rceil \big)\big\rceil \leq d + \frac{k}{2} \cdot \big(\frac{d}{k+1}\big)^2$，则强九树猜想成立。更精确地说：设 $G$ 是一个图，设 $d$ 和 $k$ 为正整数，且 $γ(G) = \max_{H \subseteq G, v(H) \geq 2} \frac{e(H)}{v(H) - 1}$。如果 $γ(G) \leq k + \frac{d}{d + k + 1}$，则存在将 $E(G)$ 划分为 $k + 1$ 个森林的划分方式，其中在一个森林中每个连通分量至多有 $d + \big\lceil k \big\lfloor\frac{d-1}{k+1}\big\rfloor \big(\frac{d}{k+1} - \frac{1}{2} \big\lceil\frac{d}{k+1}\big\rceil \big)\big\rceil$ 条边。
英文摘要：
We prove the Strong Nine Dragon Tree Conjecture is true if we replace the edge bound with $d + \big\lceil k \big\lfloor\frac{d-1}{k+1}\big\rfloor \big(\frac{d}{k+1} - \frac{1}{2} \big\lceil\frac{d}{k+1}\big\rceil \big)\big\rceil \leq d + \frac{k}{2} \cdot \big(\frac{d}{k+1}\big)^2$. More precisely: let $G$ be a graph, let $d$ and $k$ be positive integers and $γ(G) = \max_{H \subseteq G, v(H) \geq 2} \frac{e(H)}{v(H) - 1}$. If $γ(G) \leq k + \frac{d}{d + k + 1}$, then there is a partition of $E(G)$ into $k + 1$ forests, where in one forest every connected component has at most $d + \big\lceil k \big\lfloor\frac{d-1}{k+1}\big\rfloor \big(\frac{d}{k+1} - \frac{1}{2} \big\lceil\frac{d}{k+1}\big\rceil \big)\big\rceil$ edges.
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