超固态同伦代数
Ultrasolid Homotopical Algebra
AI总结：
本文构造了离散域上的超固态模范畴，推广了Clausen-Scholze固态模理论，证明中山引理的超固态版本，并建立完备投射有限代数与等特征形式模问题之间的反变等价。
摘要：
由Clausen和Scholze引入的$\mathbb{Q}$或$\mathbb{F}_p$上的固态模是完全拓扑向量空间的一种性质良好的变体，构成一个对称幺半Grothendieck阿贝尔范畴。对于离散域$k$，我们构造了超固态$k$-模范畴，它特殊化为$\mathbb{Q}$或$\mathbb{F}_p$上的固态模。在这一框架下，我们证明了一些交换代数结果，例如中山引理的超固态变体。我们还以animated和$\mathbb{E}_\infty$超固态$k$-代数的形式探索了高阶代数及其形变理论。我们重点关注完备投射有限$k$-代数的子范畴，并证明它与具有余连通切复形的等特征形式模问题反变等价。
英文摘要：
Solid modules over $\mathbb{Q}$ or $\mathbb{F}_p$, introduced by Clausen and Scholze, are a well-behaved variant of complete topological vector spaces that forms a symmetric monoidal Grothendieck abelian category. For a discrete field $k$, we construct the category of ultrasolid $k$-modules, which specialises to solid modules over $\mathbb{Q}$ or $\mathbb{F}_p$. In this setting, we show some commutative algebra results like an ultrasolid variant of Nakayama's lemma. We also explore higher algebra in the form of animated and $\mathbb{E}_\infty$ ultrasolid $k$-algebras, and their deformation theory. We focus on the subcategory of complete profinite $k$-algebras, which we prove is contravariantly equivalent to equal characteristic formal moduli problems with coconnective tangent complex.
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