关于几乎投射模的两点注记
Two remarks on Almost Projective Modules
AI总结：
本文研究交换环上的几乎投射模，证明了其均为投射模当且仅当环半局部，并给出每个模有几乎投射包络的充要条件为环凝聚且局部阿尔廷，且条件不可省略。
摘要：
对于交换环 $R$，几乎投射模是指其在每个极大理想处的局部化都是自由的模，且对秩不加限制。我们证明了每个几乎投射 $R$-模都是投射的当且仅当 $R$ 是半局部环。接下来，我们转而研究何时每个 $R$-模都有几乎投射包络。我们证明了在特定条件下，每个 $R$-模都有几乎投射包络当且仅当该环是凝聚的且局部阿尔廷的。我们还表明，在冯·诺依曼正则环上的对偶数环的情形中，这些条件不能被省略。
英文摘要：
For a commutative ring $R$, an almost projective module is a module whose localization at every maximal ideal is free, with no restriction on rank. We prove that every almost projective $R$-module is projective if and only if $R$ is semilocal. Next, we turn to investigate when every $R$-module has an almost projective envelope. We show that under certain conditions, every $R$-module has an almost projective envelope if and only if it is coherent and locally Artinian. We also show that the conditions can not be omitted in terms of dual numbers rings over von Neumann regular rings.
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