关于齐次微分多项式实零点个数及 Hawaii 猜想的推广
On the number of real zeroes of a homogeneous differential polynomial and a generalization of the Hawaii conjecture
AI总结：
本文研究了微分多项式实零点的可能数量，在特定条件下完整描述了零点分布，并为 Boris Shapiro 的两个猜想提供了反例。
摘要：
对于给定的实多项式 $p$，我们研究微分多项式 $H_{\varkappa}[p](x) = \varkappa\left(p'(x)\right)^2-p(x)p''(x), \varkappa \in \mathbb{R}$ 的实根的可能数量。在多项式 $p$ 的所有实零点皆为单根，且其导数 $p'$ 的所有根皆为实单根的特殊情况下，我们针对实数 $\varkappa$ 完整描述了 $H_{\varkappa}[p]$ 零点的分布。我们还针对函数 $H_{\frac{n-1}{n}}[p]$ 零点个数的两个 Boris Shapiro 猜想提供了反例。
英文摘要：
For a given real polynomial $p$ we study the possible number of real roots of a differential polynomial $H_{\varkappa}[p](x) = \varkappa\left(p'(x)\right)^2-p(x)p''(x), \varkappa \in \mathbb{R}.$ In the special case when all real zeros of the polynomial $p$ are simple, and all roots of its derivative $p'$ are real and simple, the distribution of zeros of $H_{\varkappa}[p]$ is completely described for each real $\varkappa.$ We also provide counterexamples to two Boris Shapiro's conjectures about the number of zeros of the function $H_{\frac{n-1}{n}}[p].$
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
