广义 Benjamin-Ono 方程的全离散局部间断 Galerkin 方法的稳定性
Stability of fully Discrete Local Discontinuous Galerkin method for the generalized Benjamin-Ono equation
AI总结：
本文为广义 Benjamin-Ono 方程设计了全离散 LDG 格式，结合 CN 和四阶 RK 时间离散方法，证明了其稳定性，并通过孤立子解数值算例验证了方法的效率和最优收敛阶。
摘要：
本文的主要目的是为广义 Benjamin-Ono 方程设计一个全离散局部间断 Galerkin (LDG) 格式。首先，我们证明了所提出的半离散 LDG 格式的 $L^2$-稳定性，并获得了针对一般非线性通量的次优收敛阶。我们在时间离散上采用 Crank-Nicolson (CN) 方法和四阶四级 Runge-Kutta (RK) 方法，开发了一种全离散 LDG 格式。通过适配为半离散格式建立的方法论，我们证明了针对一般非线性通量的全离散 CN-LDG 格式的稳定性。此外，我们考虑了用于时间高阶收敛的四阶 RK-LDG 格式，并通过为线性通量建立三步强稳定性估计，证明了它在适当的时间步长约束下是强稳定的。文中给出了与孤立子解相关的数值算例，以验证这两种方法的效率和最优收敛阶。
英文摘要：
The main purpose of this paper is to design a fully discrete local discontinuous Galerkin (LDG) scheme for the generalized Benjamin-Ono equation. First, we proved the $L^2$-stability for the proposed semi-discrete LDG scheme and obtained a sub-optimal order of convergence for general nonlinear flux. We develop a fully discrete LDG scheme using the Crank-Nicolson (CN) method and fourth-order fourth-stage Runge-Kutta (RK) method in time. Adapting the methodology established for the semi-discrete scheme, we demonstrate the stability of the fully discrete CN-LDG scheme for general nonlinear flux. Additionally, we consider the fourth-order RK-LDG scheme for higher order convergence in time and prove that it is strongly stable under an appropriate time step constraint by establishing a \emph{three-step strong stability} estimate for linear flux. Numerical examples associated with soliton solutions are provided to validate the efficiency and optimal order of accuracy for both methods.
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