通过字母表重排序最小化 Minimizer 集合
Minimizing the Minimizers via Alphabet Reordering
AI总结：
本文研究通过字母表重排序最小化字符串 minimizer 集合规模的问题，证明该问题对任意 w≥2 和 k≥1 都是 NP 难的，从而解释了现有方法只能依赖启发式算法而缺乏精确算法的原因。
摘要：
Minimizers 采样是应用最广泛的字符串采样机制之一 [Roberts 等人，Bioinformatics 2004]。设 $S=S[1]\ldots S[n]$ 为全序字母表 $Σ$ 上的字符串，并设 $w\geq 2$ 和 $k\geq 1$ 为两个整数。$S[i\mathinner{.\\.} i+w+k-2]$ 的 minimizer 是 $[i,i+w-1]$ 中的最小位置，该位置是 $S[i\mathinner{.\\.} i+w+k-2]$ 中字典序最小的长度为 $k$ 的子串的起始位置。对所有 $i\in[1,n-w-k+2]$ 取 minimizer 所得到的集合即为 $S$ 的 minimizer 集合 $\mathcal{M}_{w,k}(S)$。我们考虑以下基本问题：给定 $S$、$w$ 和 $k$，能否高效地计算 $Σ$ 上的一个全序，使得 $|\mathcal{M}_{w,k}(S)|$ 最小？我们证明这不太可能，具体而言，我们证明对于任意 $w\geq 2$ 和 $k\geq 1$，该问题都是 NP 难的。我们的结果为为什么不存在最小化 minimizers 采样的精确算法、而同一目的却存在大量启发式算法提供了理论依据。
英文摘要：
Minimizers sampling is one of the most widely-used mechanisms for sampling strings [Roberts et al., Bioinformatics 2004]. Let $S=S[1]\ldots S[n]$ be a string over a totally ordered alphabet $Σ$. Further let $w\geq 2$ and $k\geq 1$ be two integers. The minimizer of $S[i\mathinner{.\,.} i+w+k-2]$ is the smallest position in $[i,i+w-1]$ where the lexicographically smallest length-$k$ substring of $S[i\mathinner{.\,.} i+w+k-2]$ starts. The set of minimizers over all $i\in[1,n-w-k+2]$ is the set $\mathcal{M}_{w,k}(S)$ of the minimizers of $S$. We consider the following basic problem: Given $S$, $w$, and $k$, can we efficiently compute a total order on $Σ$ that minimizes $|\mathcal{M}_{w,k}(S)|$? We show that this is unlikely by proving that the problem is NP-hard for any $w\geq 2$ and $k\geq 1$. Our result provides theoretical justification as to why there exist no exact algorithms for minimizing the minimizers samples, while there exists a plethora of heuristics for the same purpose.
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