马科夫斯基主题的变奏
Variations on a Theme of Makowski
AI总结：
本文区分几何证明公理化研究与一般数学公理下的几何研究，回顾20世纪合成几何方法并澄清度量、正交、迷向、双曲等术语，进而公理化复数域上的仿射几何，探讨仿射几何公理与域的一阶理论稳定性分类之间的联系。
摘要：
我们将几何证明的公理化研究与从一般数学公理出发对几何的研究区分开来。我们简要报告了对这一区分的滥用及其对美国高中教育造成的不幸影响。我们回顾了20世纪合成几何的若干方法。在此过程中，我们（按维基百科的意义）澄清了以下术语：度量、正交、迷向和双曲。借助其中一些体系，我们能够对复数域上的“仿射几何”进行公理化（该论证从[Wu94]或[Szm78]来看是平凡的，但二者均未指出这一点）。我们考察了仿射几何公理与相关域的一阶完全理论稳定性分类之间联系的一般问题。最后，我们以对与亚诺什半个世纪友谊的回忆作结。
英文摘要：
We distinguish the axiomatic study of proofs in geometry from study about geometry from general axioms for mathematics. We briefly report on an abuse of that distinction and its unfortunate effect on US high school education. We review a number of 20th century approaches to synthetic geometry. In doing so, we disambiguate (in the Wikipedia sense) the terms: metric, orthogonal, isotropic and hyperbolic. With some of these systems we are able to axiomatize `affine geometry' over the complex field (The argument is trivial from [Wu94] or [Szm78], but not remarked by either of them.). We examine the general question of the connections between axioms for Affine geometries and the stability classification of associated complete first order theories of fields. We conclude with reminiscences of a half-century friendship with Janós.
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