通过 K 理论研究非半单情形下的特殊值
Special Values without Semi-Simplicity Via K-Theory
AI总结：
本文引入算术 C(S^1,R)-模范畴并计算其 K_0，从而在不依赖 Tate 半单性猜想的情况下定义乘法 Euler 示性数，并推广有限型 F_p 概形 zeta 值的上同调公式。
摘要：
本文受研究有限型 F_p 概形所附带 zeta 函数特殊值的启发，对任意 Dedekind 环 R 引入一类附属于它的“算术 C(S^1,R)-模”范畴，并计算该范畴的第 0 个 K-群。在特化到某个素数 l≠p 时 R=Z_l（相应地，R=Z_p）的情形后，我们证明：一点上的完美 étale Z_l 层的 étale 上同调（相应地，完美棱柱 F-gauge 的 syntomic 上同调）到算术 C(S^1,Z_l)-模（相应地，算术 C(S^1,Z_p)-模）存在自然的函子性提升。这使我们能够通过一个来自 K_0 群的映射来定义乘法 Euler 示性数的概念，该定义无需假设 Tate 半单性猜想即可成立。特别地，我们可以从 Milne 的一条定理中移除该假设；该定理为光滑本征 F_p 概形所附带的 zeta 值证明了一个上同调公式。我们还讨论了这些 zeta 值公式向有限型 F_p 概形的推广，以及 motive 同伦论的最新进展如何使我们能够在不对奇点消解或 Tate 半单性猜想作任何假设的情况下证明若干结果。
英文摘要：
In this paper, motivated by studying special values of zeta functions attached to finite type F_p-schemes, we introduce a category of ``arithmetic C(S^1,R)-modules'' attached to any Dedekind ring R, and compute the 0th K-group of this category. Specializing to the case of R=Z_l for some prime l neq p (resp. R=Z_p), we prove that there is a natural functorial lift of the etale cohomology of perfect etale Z_l sheaves (resp. syntomic cohomology of perfect prismatic F-gauges) on a point to arithmetic C(S^1,Z_l)-modules (resp. arithmetic C(S^1,Z_p)-modules). This allows us to define a notion of the multiplicative Euler characteristic via a map from the K_0-group which makes sense without assuming Tate's semi-simplicity conjecture. In particular, we can remove this hypothesis from a theorem of Milne proving a cohomological formula for zeta values attached to smooth proper F_p-schemes. We also discuss extensions of these zeta value formulae to finite type F_p-schemes, and how recent progress in motivic homotopy theory allows us to prove some results without any assumptions on resolution of singularities or Tate's semi-simplicity conjecture.
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