Besicovitch 的 1/2 问题与线性规划
Besicovitch's 1/2 problem and linear programming
AI总结：
该论文改进 Besicovitch 1/2 猜想的最佳界限，证明下密度阈值可提升至 7/10，并提出变分问题族以产生更多界限。
摘要：
我们考虑以下 Besicovitch 的经典猜想：平面上具有有限 Hausdorff 1 维测度 $\mathcal{H}^1$ 的 1 维 Borel 集，若其几乎处处下密度严格大于 $\frac{1}{2}$，则该集合必定是可数可求长的。我们改进了 Preiss 和 Tišer 已知的最佳界限，证明了若将 $\frac{1}{2}$ 替换为 $\frac{7}{10}$，该命题确实成立（事实上，我们甚至在一般度量空间的相应命题中也改进了 Preiss-Tišer 界限）。更重要的是，我们提出了一族变分问题以产生后者及许多类似界限，并研究了它们的若干性质，为进一步改进铺平了道路。
英文摘要：
We consider the following classical conjecture of Besicovitch: a $1$-dimensional Borel set in the plane with finite Hausdorff $1$-dimensional measure $\mathcal{H}^1$ which has lower density strictly larger than $\frac{1}{2}$ almost everywhere must be countably rectifiable. We improve the best known bound, due to Preiss and Tišer, showing that the statement is indeed true if $\frac{1}{2}$ is replaced by $\frac{7}{10}$ (in fact we improve the Preiss-Tišer bound even for the corresponding statement in general metric spaces). More importantly, we propose a family of variational problems to produce the latter and many other similar bounds and we study several properties of them, paving the way for further improvements.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
