A new efficient approximation scheme for solving high-dimensional semilinear PDEs: control variate method for Deep BSDE solver
提出了一种求解高维半线性偏微分方程（PDE）和倒向随机微分方程（BSDEs）的新的逼近格式。首先，我们将一个目标半线性偏微分方程分解为两部分，即“主导”线性偏微分方程和“小”非线性偏微分方程。然后，我们采用了一种新的控制变量的方法来解决这些偏微分方程，其中基于渐近展开技术的近似有效地应用于线性部分，也用作控制变量的非线性部分。此外，我们的理论结果表明，所提出的方法的误差变得小于那些原来的Deep Boundary求解器。最后通过数值实验验证了该方法的有效性，实验结果与本文的理论结果一致。
2021-01-31 cs.NA math.NA q-fin.CP
On parareal algorithms for semilinear parabolic Stochastic PDEs
Univ Lyon, CNRS, Université Claude Bernard Lyon 1, UMR5208, Institut Camille Jordan（里昂大学）；Department of Mathematics, Purdue University（普渡大学）
本文研究了半线性抛物型随机偏微分方程的并行算法，分析了粗格子求解器的选择、噪声正则性以及并行迭代次数对算法性能的影响，并通过理论分析和数值实验进行了探讨。
2019-02-14 cs.NA math.NA
Accelerated Nehari manifold optimization methods for computing ground state solutions of coupled elliptic systems
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学）；National University of Defense Technology（国防科技大学）；Hunan University（湖南大学）
本文提出了一种高效的Nehari流形优化算法，用于计算半线性椭圆系统的基态解，通过结合NMOM与Nesterov加速方法，改进了稳定性与计算效率。
2026-09-21 cs.NA math.NA
Cost-optimal adaptive iterative linearized FEM for semilinear elliptic PDEs
针对具有强单调但仅局部Lipschitz连续非线性项的半线性椭圆PDE，提出一种基于阻尼Zarantonello迭代的自适应线性化有限元方法，通过同步控制网格细化与非线性迭代，在每步仅求解线性Poisson型方程，并证明了该策略在整体计算复杂度下能保证收敛且达到最优速率。
2023-05-23 cs.NA math.NA
High order linearly implicit methods for semilinear evolution PDEs
提出半线性演化PDE的高阶线性隐式方法
2023-10-23 cs.NA math.NA
Convergence analysis of explicit stabilized integrators for parabolic semilinear stochastic PDEs
显式稳定积分器是隐式或半隐式方法的有效替代方案，以避免标准显式积分器应用于刚性扩散问题所面临的严格时间步长限制。本文给出了一类抛物型半线性确定性和随机偏微分方程的一族显式稳定化方法与有限元法耦合的全离散强收敛性分析。数值实验包括半线性随机热方程时空白噪声证实了理论研究结果。
2022-12-13 cs.NA math.NA math.PR
Optimal control of fractional semilinear PDEs
George Mason University（乔治梅森大学）；University of Puerto Rico (Rio Piedras Campus), College of Natural Sciences（波多黎各大学（里奥彼德拉斯校区）自然科学学院）
本文研究了具有谱和积分分数扩散算子的半线性分数PDEs的最优控制问题，通过证明解的有界性、非线性增长条件以及最优控制问题的解的存在性，推导了最优性条件。
2019-01-14 cs.NA math.AP math.NA
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of high-dimensional semilinear elliptic partial differential equations
最近，所谓的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方案已被引入，并显示出克服维数灾难的数值逼近半线性抛物型偏微分方程（PDE）与Lipschitz非线性。本文的主要贡献是介绍和分析了一个新的变种的MLP逼近计划的某些半线性椭圆型偏微分方程的Lipschitz非线性，并证明了所提出的逼近计划克服了灾难的维数在数值逼近这样的半线性椭圆型偏微分方程。
2020-03-01 cs.NA math.NA math.PR
Numerical simulations for full history recursive multilevel Picard approximations for systems of high-dimensional partial differential equations
高维非线性偏微分方程（PDE）的求解是应用数学中最具挑战性的问题之一。特别地，很难开发出不受维数灾难影响的近似算法，因为算法计算精度近似$ε> 0$所需的计算操作的数量在所需精度的倒数$1/ε$和PDE的维数$d \in \mathbb{N}$中最多多项式增长。最近，一种新的近似方法，所谓的全历史递归多层次Picard（MLP）近似方法，已被引入，直到今天，这种近似方案是唯一的近似方法在科学文献中已被证明克服灾难的维数在一般时间范围的半线性偏微分方程的数值逼近。本文的一个重要贡献是将MLP近似方法推广到半线性偏微分方程系统，并在几个例子上进行了数值测试。更具体地说，我们建议的MLP近似方法的情况下，艾伦-卡恩偏微分方程，正弦戈登型偏微分方程，耦合半线性热偏微分方程系统，半线性布莱克-斯科尔斯偏微分方程在多达1000个维度。所呈现的数值模拟结果表明，在这些示例PDE中的每一个的情况下，所提出的MLP近似方法在短运行时间内产生非常准确的结果，并且特别地，所呈现的数值模拟结果表明，所提出的MLP近似方案显著优于用于高维半线性PDE的某些基于深度学习的近似方法。
2020-05-25 cs.NA math.NA
Stratified regression Monte-Carlo scheme for semilinear PDEs and BSDEs with large scale parallelization on GPUs
本文提出一种基于 LSMC 的新算法求解离散时间 BSDEs，通过引入新颖的分层方法实现 GPU 大规模并行计算，有效降低了模拟存储的内存开销。
2024-07-30 cs.NA math.NA
Rectified deep neural networks overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of gradient-dependent semilinear heat equations
本文首次严格证明深度神经网络在逼近一类具有梯度依赖非线性项的非线性偏微分方程时，能够克服维度灾难。
2024-09-23 cs.NA math.NA math.PR
An approximation scheme for semilinear parabolic PDEs with convex and coercive Hamiltonians
对一类梯度为凸强制的半线性抛物型方程提出了一个逼近格式。这样的方程经常出现在不完全市场的定价和投资组合管理中，更广泛地说，直接与后向随机微分方程的解的表示有关。所提出的方案是基于分裂的方程分为两部分，第一个相应的线性抛物型方程和第二个哈密尔顿-雅可比方程。这两个方程的解分别使用Feynman-Kac和Hopf-Lax公式进行近似。结合Krylov的振动系数技术和Barles-Jakobsen的最优切换近似，我们建立了该格式的收敛性并确定了其收敛速度。
2019-11-04 cs.NA math.NA math.OC
Multilevel Picard approximations for high-dimensional semilinear second-order PDEs with Lipschitz nonlinearities
最近提出的全历史递归多层Picard（MLP）逼近方法在高维非线性偏微分方程解的数值逼近方面取得了很大的成功。特别是，在文献中有数学收敛的结果证明，MLP近似方法确实克服了非线性二阶偏微分方程的数值逼近中的维数灾难，在这个意义上，所提出的MLP近似方法的计算操作的数量在规定的近似精度$ε>0$的倒数$1/ε$和偏微分方程维数$d\in \mathbb{N}=\{1,2,3, \ldots\}$中最多多项式地增长。然而，在文献中的MLP逼近方法的收敛性结果中，假定二阶微分算子前面的系数函数是仿射线性的。特别地，直到今天，在科学文献中还没有结果证明任何具有一般时域和二阶微分算子前面的非仿射线性系数函数的半线性二阶偏微分方程可以被近似而没有维数灾难。本文的主要贡献是克服这一障碍，提出并分析了一类二阶微分算子前系数函数可能为非线性的半线性二阶偏微分方程的MLP逼近方法.特别地，本文的主要结果证明了这种新的MLP逼近方法确实克服了半线性二阶偏微分方程数值逼近中的维数灾难。
2020-10-09 cs.NA math.NA math.PR
The Gevrey class implicit mapping theorem with application to UQ of semilinear elliptic PDEs
本文建立 Gevrey 类隐映射定理，证明残差的 $s$-Gevrey 正则性可推出局部数据到解映射 Fréchet 导数的 $s$-Gevrey 界，并用于半线性椭圆型 PDE 的不确定性量化。
2023-10-02 cs.NA math.AP math.NA
Multilevel Picard approximations of high-dimensional semilinear partial differential equations with locally monotone coefficient functions
半线性抛物型偏微分方程（PDE）的全历史递推多层Picard逼近方法是唯一能证明克服维数灾难的方法，如果系数函数和非线性项是全局Lipschitz连续的，且非线性项是梯度无关的.本文将这一结果推广到局部单调系数函数。我们的结果涵盖了一系列的多项式系数函数的半线性偏微分方程。
2022-04-28 cs.NA math.NA math.PR
Multi-level Picard approximations of high-dimensional semilinear parabolic differential equations with gradient-dependent nonlinearities
Faculty of Mathematics, University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学数学学院）
本文研究了高维半线性抛物型微分方程在梯度依赖非线性情况下的多级皮卡尔近似方法，证明了在合适假设下，计算复杂度在维度和精度倒数上以多项式方式增长。
2017-11-03 cs.NA math.NA
Convergence analysis of the Magnus-Rosenbrock type method for the finite element discretization of semilinear non-autonomous parabolic PDEs with nonsmooth initial data
Western Norway University of Applied Sciences（西挪威应用科学大学）；University of Cape Town（开普敦大学）；Technische Universität Chemnitz（开姆尼茨工业大学）
本文研究了非自治半线性抛物型PDEs在非光滑初始数据下的数值解法，提出Magnus-Rosenbrock方法，证明了该方法在空间和时间上的收敛性，且初始数据正则性影响收敛阶。
2018-09-10 cs.NA math.NA
Polynomial approximation of high-dimensional Hamilton-Jacobi-Bellman equations and applications to feedback control of semilinear parabolic PDEs
Imperial College London（帝国理工学院）；University of Graz（格拉茨大学）
本文提出了一种数值逼近高维Hamilton-Jacobi-Bellman方程的程序，用于最优反馈控制问题，该方法结合了伪谱格点逼近PDE动力学和迭代方法求解非线性HJB方程，主要贡献是通过分离多项式逼近方法求解线性广义HJB方程，从而获得稳定反馈控制。
2019-02-06 cs.NA math.NA math.OC
Overcoming the curse of dimensionality in the approximative pricing of financial derivatives with default risks
本文研究了如何通过全历史递归多级皮尔德算法克服在具有违约风险的金融衍生品近似定价中的维度诅咒，证明了该方法在计算效率上具有多项式可处理性。
2019-03-14 cs.NA math.NA
Numerical analysis for saddle dynamics of some semilinear elliptic problems
本文研究了半线性椭圆问题的鞍点动力学数值分析，提出连续-空间形式的鞍点动力学并分析了其稳定性及误差估计。
2025-11-24 cs.NA math.NA
Semilinear fractional elliptic PDEs with gradient nonlinearities on open balls: existence of solutions and probabilistic representation
针对高维球域上带梯度非线性的分数阶半线性椭圆PDE，提出基于α-稳定分支过程的树状概率表示法，无需梯度非线性的多项式阶条件即可证明粘性解存在，且在10维下精度优于确定性有限差分法。
2024-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Runge-Kutta time semidiscretizations of semilinear PDEs with non-smooth data
University of Surrey（萨里大学）
研究半线性演化方程在Hilbert空间上的解法，采用A稳定Runge-Kutta方法处理非光滑初始数据，证明收敛阶为O(h^{pℓ/(p+1)})，扩展了Brenner和Thomée的结果。
2016-01-18 cs.NA math.NA
Detection of high codimensional bifurcations in variational PDEs
我们推导了非线性泛函的A-级数奇点的分支检验方程，并基于这些方程，提出了一种检测参数依赖偏微分方程（如参数依赖半线性泊松方程）高余维分支的数值方法.作为一个例子，我们考虑一个Bratu型问题，并显示如何高余维分岔，如燕尾分岔可以找到数值。特别地，我们的原创性贡献是（1）无限维分裂引理的使用，（2）所有A-级数分支的统一和简化处理，（3）在巴拿赫空间中的表示，即我们的结果既适用于偏微分方程，也适用于其（4）参数依赖半线性泊松方程的进一步简化（连续和离散），和（5）连续问题的统一处理及其离散化。
2019-11-14 cs.NA math.NA
Multilevel Picard algorithm for general semilinear parabolic PDEs with gradient-dependent nonlinearities
针对系数非常数且非线性依赖梯度的一般半线性抛物型 PDE，提出多层 Picard 逼近算法，并借助 SFPE 证明解与梯度的表示、收敛性及复杂度，辅以 300 维数值验证。
2025-02-18 cs.NA math.AP math.NA
Constructive proofs for some semilinear PDEs on $H^2(e^{|x|^2/4},\mathbb{R}^d)$
Department of Mathematics, Imperial College London（帝国理工学院数学系）
本文提出了一种基于谱方法和牛顿-康托罗维奇论证的计算机辅助工具，用于在特定空间上研究半线性PDEs的构造性证明，并应用于多种非线性方程，获得自相似解。
2026-01-18 cs.NA math.AP math.NA
Optimal error estimate of the finite element approximation of second order semilinear non-autonomous parabolic PDEs
本文研究了二阶非自治半近抛物型偏微分方程的有限元法的数值逼近。据我们所知，只有线性的情况下，在文献中进行了研究。在非线性项的多项式增长条件下，利用依赖于两个参数的演化算子，得到了该格式对偏微分方程温和解的误差估计。我们的收敛速度获得光滑和非光滑的初始数据，是类似的自治的情况。在数值分析中，光滑初值下的收敛性结果是非常重要的.例如，在用有限元法逼近非自治随机偏微分方程方面向前迈进了一步。此外，我们提供了现实的非线性条件，适当地实现最佳的收敛速度没有对数减少利用两个参数的演化算子的光滑性能。
2020-01-23 cs.NA math.FA math.NA
A derivative-free localized stochastic method for very high-dimensional semilinear parabolic PDEs
提出一种无网格、无导数、无矩阵且高度并行的局部化随机方法，基于 FBSDE 鞅表示、LLR、无矩阵解耦与 Newton 迭代求解高维半线性抛物型 PDE，严格给出显式误差界限，并在单机上高效求解了高达 10000 维的问题。
2025-10-12 cs.NA math.NA
Overcoming the curse of dimensionality in the numerical approximation of semilinear parabolic partial differential equations
长期以来，人们都知道用蒙特卡罗方法可以近似求解高维线性抛物型偏微分方程，其计算量在维数和精度的倒数上都呈多项式增长。换句话说，线性偏微分方程不受维数灾难的影响。然而，对于一般的半线性偏微分方程的Lipschitz系数，它仍然是一个悬而未决的问题，这些是否遭受灾难的维数。在本文中，我们部分解决这个开放的问题。更确切地说，我们证明在半线性热方程的情况下，梯度独立和全球Lipschitz连续非线性，最近推出的多层次皮卡德近似的一个变体的计算工作量增长多项式的尺寸和所需的精度的倒数。
2020-06-24 cs.NA math.AP math.NA
Validated integration of semilinear parabolic PDEs
本文提出一种计算机辅助证明方法，通过傅里叶空间常数变易公式和牛顿-康托罗维奇论证，对半线性抛物型PDE进行严格时间积分，给出轨道存在性证明及误差界，并适用于多个经典方程。
2024-05-27 cs.NA math.AP math.DS
A positivity- and monotonicity-preserving nonlinear operator splitting approach for approximating solutions to quenching-combustion semilinear partial differential equations
近年来，人们对保持原始连续问题的各种定性特征的数值算法的兴趣大大增加。在这里，我们提出并研究了一种数值算法，保留了所谓的淬火燃烧偏微分方程（PDE）的定性特征。这种偏微分方程通常用于模拟固体燃料点火过程或酶化学反应，其特征在于它们的奇异非线性反应项和它们的解在它们存在的时间间隔上表现出的正性和单调性。在这篇文章中，我们提出了一个隐式的非线性算子分裂算法，它允许自然保存这些功能。严格证明了算法的正性和单调性。此外，该算法的收敛性进行了分析和量化的显式依赖于奇异性在一个非线性设置。
2021-09-11 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations overcome the curse of dimensionality in the numerical approximation of general semilinear PDEs with gradient-dependent nonlinearities
本文证明了Neufeld与Wu提出的用于求解含梯度依赖非线性项的一般半线性抛物型PDE的多级Picard（MLP）算法可克服维数灾难，其计算复杂度仅随维度和精度倒数呈多项式增长。
2025-03-20 cs.NA math.AP math.NA
A rigorous integrator and global existence for higher-dimensional semilinear parabolic PDEs via semigroup theory
该研究提出结合半群理论与计算机辅助证明的构造性方法，通过切比雪夫级数展开与压缩不动点定理实现半线性抛物PDE解的严格验证，还应用于Swift-Hohenberg等方程证明全局存在性。
2025-01-20 cs.NA math.AP math.DS
Quasinorms in semilinear elliptic problems
本文研究了具有多项式非线性项的半线性椭圆偏微分方程的间断Galerkin有限元离散的先验和后验分析。我们表明，最佳的先验误差界的能量范数只可能为低阶元素使用经典的先验误差分析技术。我们利用适当的拟范数，结果在最佳的能量范数差错控制。我们表明，相反的先验情况下，一个标准的后验分析产生最佳的上界，并不需要引入拟范数。我们还总结了大量的数值实验验证分析，并检查层的解决方案中的外观。
2019-07-27 cs.NA math.NA
Learning Semilinear Neural Operators : A Unified Recursive Framework For Prediction And Data Assimilation
Northeastern University（东北大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Université de Lorraine（洛林大学）；Institute for Experiential AI（体验式人工智能研究所）
提出一种基于学习的递归状态空间框架，利用半线性PDE结构与非线性和函数空间观测器理论，统一实现预测与数据同化，在长时间范围内快速准确预测并利用稀疏含噪测量修正解，实验验证了其鲁棒性与高效性。
2024-03-15 cs.AI cs.LG cs.NA
Analysis of a modified Euler scheme for parabolic semilinear stochastic PDEs
我们提出了一个修改的标准线性隐式欧拉积分的弱近似的抛物半线性随机偏微分方程的加性时空白噪声。新方法可以很容易地与有限差分法相结合进行空间离散。与标准方法相比，所提出的方法具有更好的定性性能。首先，对于任何时间-步长，解的空间规律性在任何时候都被保持。第二，所提出的方法保持高斯不变分布的无限维Ornstein-Uhlenbeck过程时，非线性是不存在的，对于任何时间-步长。所提出的方法的弱收敛阶被证明是等于$1/2$在一般的设置，如标准的欧拉计划。当考虑吉布斯不变分布的近似时，当非线性是梯度时，得到更强的弱近似结果：得到$1/2$阶的全变差距离的近似，这不适用于标准方法。这是文献中第一个此类结果。分析中的一个关键点是解释建议的修改欧拉格式的加速指数欧拉格式适用于修改后的随机发展方程。最后，证明了该方法可用于设计一类快慢多尺度系统的渐近保持格式，并可构造无穷维定义的马尔可夫链蒙特卡罗方法.我们还重新分析了标准和加速指数欧拉方案，我们证明了新的结果与近似的全变差的距离，这有助于说明所提出的修改后的欧拉方案的行为。
2022-03-20 cs.NA math.NA math.PR
A simple rigorous integrator for semilinear parabolic PDEs
VU Amsterdam（阿姆斯特丹自由大学）；CMAP, CNRS, École polytechnique, Institut Polytechnique de Paris（巴黎综合理工学院）
本文提出了一种简单且高效的严格积分方法，用于半线性抛物型PDEs的误差界推导，通过自适应时间步长策略和稳定性证明，适用于长时积分和非平凡动态捕捉。
2026-01-08 cs.NA math.AP math.DS
A learning scheme by sparse grids and Picard approximations for semilinear parabolic PDEs
基于倒向随机微分方程（BSDEs）与非线性抛物型偏微分方程（PDEs）之间的经典联系，提出了一种求解高维半线性抛物型偏微分方程的新的概率学习方法.该方案受到来自机器学习的方法的启发，并使用Han等人的深度神经网络开发[32]。我们的算法是基于皮卡德迭代计划，其中一系列的线性二次优化问题是通过随机梯度下降（SGD）算法解决。在近似空间的线性规范的框架下，我们设法证明了我们的计划的收敛结果，在一定的小条件。在实践中，为了能够处理高维的例子，我们采用稀疏网格近似空间。在周期系数和使用预小波基函数的情况下，我们得到了我们的方法的全局复杂性的上界。它特别表明，灾难的维数是驯服的意义上，为了实现一个均方根误差的顺序$ε$，对于一个规定的精度$ε$，皮卡德算法的复杂性多项式增长$ε^{-1}$到一些对数因子$ |log(ε)| $，它线性增长的PDE尺寸。给出了各种数值结果来验证我们的方法的性能，并将其与Han等人[20]和Huré等人[37]中提出的一些最近的机器学习方案进行比较。
2021-02-24 cs.NA math.NA math.PR
Branching diffusion representation of semilinear PDEs and Monte Carlo approximation
Société Générale, Global Market Quantitative Research（法国兴业银行，全球市场量化研究）；EDF R&D & FiME, Laboratoire de Finance des Marchés de l’Energie（法国电力集团研发部及能源金融市场金融研究所，能源市场金融实验室）；CEREMADE, University of Paris-Dauphine, PSL Research University（巴黎第九大学数学与决策研究中心，PSL研究大学）；Ecole Polytechnique Paris, Centre de Mathématiques Appliquées（巴黎综合理工学院，应用数学中心）
本文通过分支扩散过程表示半线性抛物型PDE，并利用自动微分技术实现非线性梯度的处理，为高维非线性PDE提供了具有误差估计的蒙特卡洛数值方法。
2016-03-05 cs.NA math.NA math.PR
Comparison results of $P_2$-finite elements for fourth-order semilinear von Karman equations
低阶$P_2$有限元是求解四阶椭圆型偏微分方程的常用元，当解的正则性有限时。Carstensen等人（2019，2020）考虑了von Karman方程的先验和后验误差估计，其中涉及不同的跳跃和惩罚项的不同网格相关范数。本文讨论的问题是，它们是否与共同规范具有可比性。本文证明了二次对称内间断Galerkin法、$C^0$内罚法和Morley有限元法的误差等价于关于统一范数的高阶振荡项。数值实验证实了比较结果。
2020-08-02 cs.NA math.NA
Strong $L^p$-error analysis of nonlinear Monte Carlo approximations for high-dimensional semilinear partial differential equations
全历史递归多层Picard（MLP）逼近格式在求解具有一般时域和Lipschitz连续非线性项的高维半线性偏微分方程（PDE）时，可以克服维数灾难问题.然而，在现有文献中的MLP近似方案的每个误差分析研究的$L^2$-均方根距离的PDE的精确解之间的考虑和所考虑的MLP近似和没有在现有文献中的误差分析提供了一个上限更一般的$L^p$-距离的PDE的精确解和所考虑的MLP近似。本文的主要贡献是将文献中MLP近似格式的$L^2$-误差分析推广到更一般的$L^p$-误差分析和$p\in (0,\infty)$。特别地，本文的主要结果证明了所提出的MLP近似格式确实克服了高维半线性偏微分方程数值近似中的维数灾难，其近似误差用$p \in (0,\infty)$在$L^p$-意义下测量。
2021-10-15 cs.NA math.NA math.PR
Exponential integrators for second-order in time partial differential equations
考虑了两类二阶时间偏微分方程，即半线性波动方程和半线性梁方程。为了求解这些方程的指数积分，我们提出了一种方法来有效地计算矩阵指数以及相关的矩阵函数的作用。各种数值模拟，说明这种方法。
2022-08-09 cs.NA math.NA
Line Integral solution of Hamiltonian PDEs
Dipartimento di Matematica e Informatica “U. Dini”, Università di Firenze（佛罗伦萨大学）；School of Mathematics, Statistics & Actuarial Science, University of Kent（肯特大学）；Dipartimento di Matematica, Università di Bari（巴里大学）
本文研究了利用能量守恒的线积分方法求解Hamiltonian偏微分方程的问题，通过半线性波方程、非线性薛定谔方程和Korteweg-de Vries方程展示该方法的主要特征。
2019-03-15 cs.NA math.NA
Error estimates for fractional semilinear optimal control on Lipschitz polytopes
我们采用积分定义的分数拉普拉斯算子和分析解决方案的技巧，分数，半线性，椭圆最优控制问题的Lipschitz多面体。我们考虑两种策略的离散化：半离散计划的容许控制集不离散和全离散计划，这样的一组离散与分段常数函数。作为一个工具性的步骤，我们得到了分数阶半线性椭圆型偏微分方程（PDE）在拟均匀网格和梯度网格上的有限元离散的误差估计。有了这些估计在手，我们推导出误差界的半离散计划和改进的文献中提供的全离散计划。
2023-02-28 cs.NA math.NA math.OC
Finite Expression Approximation of High-Dimensional PDEs Without the Curse of Dimensionality
University of Maryland, College Park（马里兰大学帕克分校）
本文证明有限表达式符号表示类可克服高维PDE的维数灾难，通过多级皮卡德框架传播及构造确定性逼近，实现多项式复杂度保证，为有限表达式方法奠定理论基础。
2026-09-29 cs.NA math.NA
Fractional semilinear optimal control: optimality conditions, convergence, and error analysis
采用分数阶Laplace算子的积分定义，分析了一类分数阶半线性椭圆型偏微分方程（PDE）的最优控制问题，并考虑了控制约束.我们建立了分数阶半线性椭圆偏微分方程的适定性，并分析了其正则性和合适的有限元离散。在我们的最优控制问题的设置，我们推导出最优解的存在性以及第一和第二阶最优性条件的最优变量的正则性估计也进行了分析。我们设计了一个完全离散的计划，近似控制变量与分段常数函数的状态和伴随方程离散连续分段线性有限元。我们分析了离散化的收敛性质，并推导出先验的误差估计。
2021-09-03 cs.NA math.NA math.OC
Numerical analysis of spatiotemporal high-index saddle dynamics for finding multiple solutions of semilinear elliptic problems
Peking University（北京大学）；Shandong University（山东大学）
本文提出一种基于时空高索引鞍点动力学的数值方法，用于高效求解半线性椭圆问题的多个解，并首次实现了该方法的全空间-时间精度分析。
2026-01-13 cs.NA math.NA
Multilinear POD-DEIM model reduction for 2D and 3D semilinear systems of differential equations
我们主要研究二维和三维耦合非线性偏微分方程的数值解。在一定的假设下的域，我们利用Kronecker结构中产生的标准空间离散的微分算子，并说明如何得到的系统的常微分方程（ODE）可以直接在矩阵或张量的形式。此外，在适当的正交分解（POD）和离散经验插值方法（DEIM）的框架下，我们推导出一个双边和三边模型降阶策略，直接应用到常微分方程系统的矩阵和张量的形式分别。我们讨论了如何集成降阶模型，特别是，如何解决张量值线性系产生的每一个时间步的半隐式时间离散计划。我们说明了所提出的方法的效率，通过比较现有的技术对经典的基准问题，如二维和三维Burgers方程。
2021-07-20 cs.NA math.NA
Deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation provably overcome the curse of dimensionality for space-time solutions of semilinear partial differential equations
University of Wuppertal（伍珀塔尔大学）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；University of Münster（明斯特大学）；Toyota Financial Services（丰田金融服务公司）
本文证明采用 ReLU、leaky ReLU 或 softplus 的 DNN 能在时空区域上以 L^p 意义无维数灾难地逼近带 Lipschitz 非线性项的高维半线性热方程解。
2024-06-16 cs.LG cs.NA math.NA
A two-level stochastic collocation method for semilinear elliptic equations with random coefficients
Southwest Jiaotong University（西南交通大学）；Pacific Northwest National Laboratory（太平洋西北国家实验室）；Purdue University（普渡大学）；Washington State University（华盛顿州立大学）
本文提出一种两级随机插值方法，用于求解具有随机系数的半线性椭圆方程，通过粗网格低阶插值与细网格高阶插值结合，实现计算效率提升，理论证明其精度与传统方法相当。
2016-11-29 cs.NA math.NA
Multilevel Picard approximations and deep neural networks with ReLU, leaky ReLU, and softplus activation overcome the curse of dimensionality when approximating semilinear parabolic partial differential equations in $L^p$-sense
Division of Mathematical Sciences, School of Physical and Mathematical Sciences, Nanyang Technological University, Singapore（数学科学系，物理与数学科学学院，南洋理工大学，新加坡）；Faculty of Mathematics, Bielefeld University, Germany（数学学院，比勒菲尔德大学，德国）
研究证明，多级皮卡尔近似与具有ReLU、leaky ReLU和softplus激活函数的深度神经网络能以L^p意义近似半线性Kolmogorov PDE解，且计算复杂度和参数数量随维度和精度要求呈多项式增长。
2026-03-23 cs.LG cs.NA math.NA
Cut finite element error estimates for a class of nonlinear elliptic PDEs
虚拟域方法的动机是在复杂域中的许多应用，其边界暴露于大的拓扑变化或变形，虚拟域方法将感兴趣的实际域嵌入到固定的笛卡尔背景中。这通常通过水平集函数对其边界进行几何参数化来实现。本文将非拟合割元数值格式的先验分析推广到线性问题之外。更确切地说，我们考虑了半线性椭圆边值问题的形式$- Δu +f_1(u)=f_2$多项式非线性通过切割有限元法的离散。边界条件是强制执行的，使用Nitsch型的方法。为了确保稳定性和误差估计，是独立的边界相对于网格的位置，配方增加了额外的边界区鬼惩罚条款。这些项作用于与剪切元素相关联的面处的法向梯度的跳跃。先验误差估计的推导，而数值例子说明了该方法的实施和验证的理论研究结果。
2020-03-13 cs.NA math.NA
iSMART: An Iterative Sampling-and-Regression Technique for Solving Martingale-Based PDEs
Peking University（北京大学）；Hunan Normal University（湖南师范大学）
研究针对高维基于鞅的PDE，提出iSMART迭代采样-回归技术，通过停止梯度等方法规避对抗优化，引入冻结-补偿技术优化HJB方程收敛性，经多类高维数值实验验证其准确性、效率与鲁棒性。
2026-08-03 cs.NA math.NA
On multilevel Picard numerical approximations for high-dimensional nonlinear parabolic partial differential equations and high-dimensional nonlinear backward stochastic differential equations
Princeton University（普林斯顿大学）；Peking University（北京大学）；University of Duisburg-Essen（杜伊斯堡-埃森大学）；ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院）
本文研究了高维非线性抛物型偏微分方程和高维非线性反向随机微分方程的数值近似方法，提出了一种基于皮卡近似和多级蒙特卡洛方法的算法，并通过数值模拟验证了其在100维问题中的准确性和效率。
2017-08-10 cs.NA math.NA
Exponentially accurate Hamiltonian embeddings of symplectic A-stable Runge--Kutta methods for Hamiltonian semilinear evolution equations
University of Surrey（萨里大学）；Jacobs University（雅各布斯大学）
针对解析初始数据的半线性哈密顿偏微分方程，证明一类A-稳定辛龙格-库塔时间半离散化可嵌入修正哈密顿流，误差指数小，从而守恒修正哈密顿量至指数小误差。
2015-02-09 cs.NA math.DS math.NA
