有理映射的模空间是 Carathéodory 双曲的
The moduli space of a rational map is Carathéodory hyperbolic
AI总结：
本文通过将非 flexible Lattès 有理映射的模空间全纯嵌入维数 $2d-2$ 的正规仿射簇并证明其像预紧，证实该模空间具有 Carathéodory 双曲性，解决 McMullen 猜想。
摘要：
设 $f$ 是次数为 $d\geq 2$ 的有理映射。由 McMullen 和 Sullivan 引入的模空间 $\mathcal{M}_f$ 是一个复解析空间，包含 $f$ 的所有拟共形共轭类。对于不是 flexible Lattès 映射的 $f$，我们证明存在一个维数为 $2d-2$ 的正规仿射簇 $X_f$，以及一个全纯单射 $i:\mathcal{M}_f\to X_f$，使得 $i(\mathcal{M}_f)$ 在 $X_f$ 中预紧。特别地，只要 $f$ 不是 flexible Lattès 映射，$\mathcal{M}_f$ 就是 Carathéodory 双曲的（即有界全纯函数可分离 $\mathcal{M}_f$ 中的点）。这解决了 McMullen 的一个猜想。当 $d\geq 4$ 时，我们给出 $X_f$ 的具体构造：将其定义为倒数乘子谱态射像的 Zariski 闭包的正规化。
英文摘要：
Let $f$ be a rational map of degree $d\geq 2$. The moduli space $\mathcal{M}_f$, introduced by McMullen and Sullivan, is a complex analytic space consisting all quasiconformal conjugacy classes of $f$. For $f$ that is not flexible Lattès, we show that there is a normal affine variety $X_f$ of dimension $2d-2$ and a holomorphic injection $i:\mathcal{M}_f\to X_f$ such that $i(\mathcal{M}_f)$ is precompact in $X_f$. In particular $\mathcal{M}_f$ is Carathéodory hyperbolic (i.e. bounded holomorphic functions separate points in $\mathcal{M}_f$), provided that $f$ is not flexible Lattès. This solves a conjecture of McMullen. When $d\geq 4$, we give a concrete construction of $X_f$ as the normalization of the Zariski closure of the image of the reciprocal multiplier spectrum morphism.
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