立方体子集的离散Brunn-Minkowski不等式
Discrete Brunn-Minkowski Inequality for subsets of the cube
AI总结：
该研究证明了两类离散Brunn-Minkowski不等式，分别针对三元集合的d次幂子集和整数格点有限集与二元立方体子集的和集，得到无维度、指数最优的下界，并讨论了相关应用。
摘要：
我们证明，对所有$A, B \subseteq \{0,1,2\}^{d}$，有$|A+B|\geq (|A||B|)^{\log(5)/(2\log(3))}$。我们还证明，对所有有限集$A,B \subset \mathbb{Z}^{d}$及任意$V \subseteq\{0,1\}^{d}$，不等式$|A+B+V|\geq |A|^{1/p}|B|^{1/q}|V|^{\log_{2}(p^{1/p}q^{1/q})}$对所有$p \in (1, \infty)$成立，其中$q=\frac{p}{p-1}$是$p$的共轭指数。所有估计均与维度无关，且指数为最优。我们讨论了其在各类相关问题中的应用。
英文摘要：
We show that for all $A, B \subseteq \{0,1,2\}^{d}$ we have $$ |A+B|\geq (|A||B|)^{\log(5)/(2\log(3))}. $$ We also show that for all finite $A,B \subset \mathbb{Z}^{d}$, and any $V \subseteq\{0,1\}^{d}$ the inequality $$ |A+B+V|\geq |A|^{1/p}|B|^{1/q}|V|^{\log_{2}(p^{1/p}q^{1/q})} $$ holds for all $p \in (1, \infty)$, where $q=\frac{p}{p-1}$ is the conjugate exponent of $p$. All the estimates are dimension free with the best possible exponents. We discuss applications to various related problems.
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