拓扑与幺半群表示 II：群的左正则带与 Hsiao 的有序 $G$-分拆幺半群
Topology and monoid representations II: left regular bands of groups and Hsiao's monoid of ordered $G$-partitions
AI总结：
本文利用拓扑方法研究 $\mathscr L$ 与 $\mathscr J$ 关系重合的 von Neumann 正则幺半群，计算不可约表示间的 $\mathrm{Ext}$，并证明 Hsiao 有序 $G$-分拆幺半群代数的 Koszul 性及其投射分解。
摘要：
本文的目标是使用拓扑方法计算 von Neumann 正则幺半群的不可约表示之间的 $\mathrm{Ext}$，在这些幺半群中 Green 的 $\mathscr L$-关系与 $\mathscr J$-关系重合（例如左正则带）。我们的结果涵盖了 S.~Margolis、F.~Saliola 和 B.~Steinberg 的《Combinatorial topology and the global dimension of algebras arising in combinatorics》，J. Eur. Math. Soc. (JEMS)，第17卷，3037--3080页（2015年）中的结果。应用包括计算任意单模之间的 $\mathrm{Ext}$，以及计算 Hsiao 的有序 $G$-分拆幺半群（与圈积 $G\wr S_n$ 的 Mantaci–Reutenauer 下降代数相关）之代数的箭图表示。我们证明该代数是 Koszul 的，计算其 Koszul 对偶，并利用拓扑计算所有单模的极小投射分解。更一般地，这些结果适用于 Abel 群的 CW 左正则带。这些结果推广了 S.~Margolis、F.~V. Saliola 和 B.~Steinberg 的《Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry》，Mem. Amer. Math. Soc.，第274卷，1--135页（2021年）中的结果。
英文摘要：
The goal of this paper is to use topological methods to compute $\mathrm{Ext}$ between irreducible representations of von Neumann regular monoids in which Green's $\mathscr L$- and $\mathscr J$-relations coincide (e.g., left regular bands). Our results subsume those of S.~Margolis, F.~Saliola, and B.~Steinberg, \emph{Combinatorial topology and the global dimension of algebras arising in combinatorics}, J. Eur. Math. Soc. (JEMS), \textbf{17}, 3037--3080 (2015). Applications include computing $\mathrm{Ext}$ between arbitrary simple modules and computing a quiver presentation for the algebra of Hsiao's monoid of ordered $G$-partitions (connected to the Mantaci-Reutenauer descent algebra for the wreath product $G\wr S_n$). We show that this algebra is Koszul, compute its Koszul dual and compute minimal projective resolutions of all the simple modules using topology. More generally, these results work for CW left regular bands of abelian groups. These results generalize the results of S.~Margolis, F.~V. Saliola, and B.~Steinberg. \emph{Cell complexes, poset topology and the representation theory of algebras arising in algebraic combinatorics and discrete geometry}, Mem. Amer. Math. Soc., \textbf{274}, 1--135, (2021).
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