关于三维和四维中通过伸缩覆盖单纯形
On Covering Simplices by Dilations in Dimensions 3 and 4
AI总结：
提出关于大格长度格多面体整闭性的猜想，证明三维（四维）特定格单纯形可被特定形式伸缩单纯形覆盖，此覆盖性质暗示其整闭，还应用于三维（四维）特定有理锥面法诺簇上充裕线丛的射影正规性判定。
摘要：
我们提出了一个关于具有大格长度的格多面体的整闭性的猜想。我们证明，在三维（分别地，四维）中，格长度至少为2（分别地，3且没有边的格长度为5）的格单纯形可以被形如$sQ$的伸缩单纯形覆盖，其中整数$s\geq2$（分别地，3）且$Q$是一个格单纯形。覆盖性质意味着这些单纯形是整闭的。作为一个应用，我们得到了皮卡数为1的三维（分别地，四维）有理锥面法诺簇上充裕线丛的射影正规性的一个简单准则。在此过程中，我们发现了某些意想不到的现象。
英文摘要：
We propose a conjecture regarding the integrally closedness of lattice polytopes with large lattice lengths. We demonstrate that a lattice simplex in dimension 3 (resp. 4) with lattice length of at least 2 (resp. 3 and no edge has lattice length 5) can be covered by dilated simplices of the form $sQ$, where integer $s\ge 2$ (resp. 3) and $Q$ is a lattice simplex. The covering property implies these simplices are integrally closed. As an application, we obtain a simple criterion for the projective normality of ample line bundles on 3-(resp. 4-) dimensional $\mathbb{Q}$-factorial toric Fano varieties with Picard number one. Along the way, we discover certain unexpected phenomenon.
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