可平行化流形上的代数结构
Algebraic structures on parallelizable manifolds
AI总结：
本文研究了可平行化流形上的代数与几何结构，利用切丛的全局平凡化定义了基本向量场，进而诱导出局部圈结构并推广了 Lie 代数结构。
摘要：
本文探讨了在可平行化流形上产生的代数与几何结构。给定一个可平行化流形 $\mathbb{L}$，其切丛存在一个全局平凡化，这为每个点 $p \in \mathbb{L}$ 定义了一个映射 $ρ_p:\mathfrak{l} \longrightarrow T_p \mathbb{L}$，其中 $\mathfrak{l}$ 是某个向量空间。这使我们能够定义一类特定的向量场，称为基本向量场，它们对应于 $\mathfrak{l}$ 的每个元素。此外，这些向量场的流产生了 $\mathfrak{l}$ 与 $\mathbb{L}$ 元素之间的一种乘积，进而诱导出局部圈结构（即群的非结合类比）。此外，我们还在 $\mathfrak{l}$ 上定义了 Lie 代数结构的一种推广。我们将描述这些构造的性质与实例。
英文摘要：
In this paper we explore algebraic and geometric structures that arise on parallelizable manifolds. Given a parallelizable manifold $\mathbb{L}$, there exists a global trivialization of the tangent bundle, which defines a map $ρ_p:\mathfrak{l} \longrightarrow T_p \mathbb{L}$ for each point $p \in \mathbb{L}$, where $\mathfrak{l}$ is some vector space. This allows us to define a particular class of vector fields, known as fundamental vector fields, that correspond to each element of $\mathfrak{l}$. Furthermore, flows of these vector fields give rise to a product between elements of $% \mathfrak{l}$ and $\mathbb{L}$, which in turn induces a local loop structure (i.e. a non-associative analog of a group). Furthermore, we also define a generalization of a Lie algebra structure on $\mathfrak{l}$. We will describe the properties and examples of these constructions.
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