有限群正交表示的线性与光滑定向等价
Linear and smooth oriented equivalence of orthogonal representations of finite groups
AI总结：
本文证明在 n≤5 时，有限群到 O(n) 的两个表示若被保持定向的微分同胚共轭，则必被 SO(n) 中的元素共轭，并给出 O(4) 中有限群不变子空间的三分类。
摘要：
设 $n\le 5$ 为整数，$\Gamma$ 为有限群。我们证明：若 $\rho, \rho': \Gamma\to O(n)$ 是两个表示，且它们通过一个保持定向的微分同胚共轭，则它们也通过 $SO(n)$ 中的某个元素共轭。在此过程中，我们证明：若 $G \subset O(4)$ 是有限群，则以下情形恰好之一成立：$G$ 的元素在 $\mathbb{R}^4$ 中有一个公共的不变 $1$ 维子空间；$G$ 中某个元素没有不变 $1$ 维子空间；或者 $G$ 共轭于一个特定的 $16$ 阶群 $K \subset O(4)$。
英文摘要：
Let $n\le 5$ be an integer, and let $Γ$ be a finite group. We prove that if $ρ, ρ': Γ\to O(n)$ are two representations that are conjugate by an orientation-preserving diffeomorphism, then they are conjugate by an element of $SO(n)$. In the process, we prove that if $G \subset O(4)$ is a finite group, then exactly one of the following is true: the elements of $G$ have a common invariant $1$-dimensional subspace in $\mathbb{R}^4$; some element of $G$ has no invariant $1$-dimensional subspace; or $G$ is conjugate to a specific group $K \subset O(4)$ of order $16$.
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