关于 $λ$-双随机不可约矩阵与交换结合方案的 Hoffman 多项式
On Hoffman polynomials of $λ$-doubly stochastic irreducible matrices and commutative association schemes
AI总结：
本文刻画了 $λ$-双随机不可约矩阵存在 Hoffman 多项式的充要条件，并证明其多项式代数成为交换结合方案 Bose–Mesner 代数的谱与距离矩阵条件。
摘要：
设 $Γ$ 表示一个有限的（强）连通正则（有向）图，其邻接矩阵为 $A$。$Γ=Γ(A)$ 的 Hoffman 多项式 $h(t)$ 是满足 $h(A)=J$ 的唯一最低次数多项式，其中 $J$ 表示全一矩阵。设 $X$ 表示一个非空有限集。若非负矩阵 $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ 对每个 $y\in X$ 都满足 $\sum_{z\in X} (B)_{yz}=\sum_{z\in X} (B)_{zy}=λ$，则称其为“$λ$-双随机矩阵”。本文首先证明，存在多项式 $h(t)$ 使得 $h(B)=J$，当且仅当 $B$ 是一个 $λ$-双随机不可约矩阵。该结果使我们能够定义 $λ$-双随机不可约矩阵的 Hoffman 多项式。现在，设 $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ 表示一个正规不可约非负矩阵，并设 ${\cal B}=\{p(B)\mid p\in{\mathbb{C}}[t]\}$ 表示由 $B$ 的所有多项式构成的、在 ${\mathbb C}$ 上的向量空间。我们按以下方式定义一个 01 矩阵 $\widehat{A}$：当且仅当 $(B)_{xy}>0$（$x,y\in X$）时，$(\widehat{A})_{xy}=1$。设 $Γ=Γ(\widehat{A})$ 表示邻接矩阵为 $\widehat{A}$、直径为 $D$ 的（有向）图，并设 $A_D$ 表示 $Γ$ 的距离-$D$ 矩阵。我们证明，${\cal B}$ 是一个交换 $D$-类结合方案的 Bose–Mesner 代数，当且仅当 $B$ 是具有 $D+1$ 个不同特征值的正规 $λ$-双随机矩阵，并且 $A_D$ 是 $B$ 的一个多项式。
英文摘要：
Let $Γ$ denote a finite (strongly) connected regular (di)graph with adjacency matrix $A$. The {\em Hoffman polynomial} $h(t)$ of $Γ=Γ(A)$ is the unique polynomial of smallest degree satisfying $h(A)=J$, where $J$ denotes the all-ones matrix. Let $X$ denote a nonempty finite set. A nonnegative matrix $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ is called {\em $λ$-doubly stochastic} if $\sum_{z\in X} (B)_{yz}=\sum_{z\in X} (B)_{zy}=λ$ for each $y\in X$. In this paper we first show that there exists a polynomial $h(t)$ such that $h(B)=J$ if and only if $B$ is a $λ$-doubly stochastic irreducible matrix. This result allows us to define the Hoffman polynomial of a $λ$-doubly stochastic irreducible matrix. Now, let $B\in{\mbox{Mat}}_X({\mathbb R})$ denote a normal irreducible nonnegative matrix, and ${\cal B}=\{p(B)\mid p\in{\mathbb{C}}[t]\}$ denote the vector space over ${\mathbb{C}}$ of all polynomials in $B$. Let us define a $01$-matrix $\widehat{A}$ in the following way: $(\widehat{A})_{xy}=1$ if and only if $(B)_{xy}>0$ $(x,y\in X)$. Let $Γ=Γ(\widehat{A})$ denote a (di)graph with adjacency matrix $\widehat{A}$, diameter $D$, and let $A_D$ denote the distance-$D$ matrix of $Γ$. We show that ${\cal B}$ is the Bose--Mesner algebra of a commutative $D$-class association scheme if and only if $B$ is a normal $λ$-doubly stochastic matrix with $D+1$ distinct eigenvalues and $A_D$ is a polynomial in $B$.
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