Hexponential 的几何与超越性
Geometry and Transcendence of the Hexponential
AI总结：
本文研究模群第二导出子群对应的六穿孔平面覆盖及其 hexponential 单值化映射，构造基于 Sturmian 序列的截面，证明其取值要么是 Markov 二次无理数要么是超越数，并给出 hexp 的连分数展开。
摘要：
模群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})$ 作用于上半平面 $\mathbb{HP}$，其商为模轨形，由函数 $\mathfrak{j} \colon \mathbb{HP}\to \mathbb{C}$ 单值化。我们首先证明第二导出子群 $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})''$ 对应于模轨形的一个 $\mathbb{Z}^2\rtimes \mathbb{Z}/6$ 伽罗瓦覆盖，该覆盖是一个六穿孔平面，由 hexponential 映射 $\operatorname{hexp} \colon \mathbb{HP} \to \mathbb{C} \setminus (ω_0\mathbb{Z}[j])$ 单值化，该映射是 $Cη^4$ 的一个原函数，其中 $ω_0\in i\mathbb{R}$ 和 $C\in \mathbb{R}$ 是显式常数，$η$ 是 Dedekind eta 函数。我们描述了尖点紧化 $\partial \operatorname{hexp}\colon \mathbb{QP}^1\to ω_0 \mathbb{Z}[j]$ 的取值。在定义径向紧化 $\operatorname{Shexp} \colon \mathscr{R} \to \mathbb{R}/(2π\mathbb{Z})$ 之后，我们构造了一个简单截面 $\operatorname{InSh} \colon \mathbb{R}/(2π\mathbb{Z}) \to \mathscr{S} \bmod{\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})'}$，其中 $\mathscr{S} \subset \mathbb{RP}^1$ 是一组其连分数展开来自 Sturmian 序列的数集，该集合包含 Markov 二次无理数集 $\mathscr{M}$，即那些来自周期 Sturmian 序列的数。我们将证明 $\operatorname{InSh}$ 的取值要么是 Markov 二次无理数，要么是超越数。最后，我们给出 $\operatorname{hexp}$ 的连分数展开，并讨论其单值性。
英文摘要：
The modular group $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})$ acts on the upper-half plane $\mathbb{HP}$ with quotient the modular orbifold, uniformized by the function $\mathfrak{j} \colon \mathbb{HP}\to \mathbb{C}$. We first show that second derived subgroup $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})''$ corresponds to a $\mathbb{Z}^2\rtimes \mathbb{Z}/6$ Galois cover of the modular orbifold by a hexpunctured plane, uniformized by the hexponential map $\operatorname{hexp} \colon \mathbb{HP} \to \mathbb{C} \setminus (ω_0\mathbb{Z}[j])$, which is a primitive of $Cη^4$ where $ω_0\in i\mathbb{R}$ and $C\in \mathbb{R}$ are explicit constants and $η$ is Dedekind eta function. We describe the values of the cusp-compactification $\partial \operatorname{hexp}\colon \mathbb{QP}^1\to ω_0 \mathbb{Z}[j]$. After defining the radial-compactification $\operatorname{Shexp} \colon \mathscr{R} \to \mathbb{R}/(2π\mathbb{Z})$, we construct a simple section $\operatorname{InSh} \colon \mathbb{R}/(2π\mathbb{Z}) \to \mathscr{S} \bmod{\operatorname{PSL}_2(\mathbb{Z})'}$ where $\mathscr{S} \subset \mathbb{RP}^1$ is a set of numbers whose continued fraction expansions arise from Sturmian sequences, which contains the set $\mathscr{M}$ of Markov quadratic irrationals as those numbers arising from periodic Sturmian sequences. We will show that the values of $\operatorname{InSh}$ are either Markov quadratic irrationals or transcendental. Finally we provide a continued fraction expansion for $\operatorname{hexp}$, and discuss its monodromy.
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