arXiv 2402.165932024-02-26math.CO

具有指定阶的高连通有向图的二部划分

Bipartitions with prescribed order of highly connected digraphs

Yuzhen Qi, Jin Yan, Jia Zhou

备注：: 23 pages

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AI总结：

本文证明了在满足最小度条件的高连通有向图中，可以找到两个指定大小的不相交顶点子集，使得它们各自及之间的导出子图都保持强k-连通，从而改进了Kim、Kühn和Osthus的已有结果。

摘要：

如果一个有向图对于每一对不同的顶点 $x, y$ 都存在从 $x$ 到 $y$ 的有向路径，则称其为强连通的；如果它有至少 $k+1$ 个顶点，并且删除任意至多 $k-1$ 个顶点后仍然保持强连通，则称其为强 $k$-连通的。对于有向图 $D$，我们用 $δ(D)$ 表示 $\mathop{\text{min}}\limits_{v\in V (D)} {|N_D^+(v)\cup N_D^-(v)|}$。在本文中，我们证明了如下结果。设 $k, l, n, n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ 满足 $n_1+n_2\leq n$ 且 $n_1,n_2\geq n/20$。假设 $D$ 是一个阶为 $n$ 的强 $10^7k(k+l)^2\log(2kl)$-连通有向图，且 $δ(D)\geq n-l$。则存在两个不相交的子集 $V_1, V_2\in V(D)$，满足 $|V_1| = n_1$ 和 $|V_2| = n_2$，使得 $D[V_1]$、$D[V_2]$ 和 $D[V_1, V_2]$ 中的每一个都是强 $k$-连通的。特别地，当 $n_1+n_2=n$ 时，$V_1$ 和 $V_2$ 构成 $V(D)$ 的一个划分。这一结果改进了 Kim、Kühn 和 Osthus 的早期结果 [SIAM J. Discrete Math. 30 (2016) 895--911]。

英文摘要：

A digraph is strongly connected if it has a directed path from $x$ to $y$ for every ordered pair of distinct vertices $x, y$ and it is strongly $k$-connected if it has at least $k+1$ vertices and remains strongly connected when we delete any set of at most $k-1$ vertices. For a digraph $D$, we use $δ(D)$ to denote $\mathop{\text{min}}\limits_{v\in V (D)} {|N_D^+(v)\cup N_D^-(v)|}$. In this paper, we show the following result. Let $k, l, n, n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ with $n_1+n_2\leq n$ and $n_1,n_2\geq n/20$. Suppose that $D$ is a strongly $10^7k(k+l)^2\log(2kl$)-connected digraph of order $n$ with $δ(D)\geq n-l$. Then there exist two disjoint subsets $V_1, V_2\in V(D)$ with $|V_1| = n_1$ and $|V_2| = n_2$ such that each of $D[V_1]$, $D[V_2]$, and $D[V_1, V_2]$ is strongly $k$-connected. In particular, $V_1$ and $V_2$ form a partition of $V(D)$ when $n_1+n_2=n$. This result improves the earlier result of Kim, Kühn, and Osthus [SIAM J. Discrete Math. 30 (2016) 895--911].

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

英文摘要：

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