通过分数阶 Laplacian Eigenmaps 进行非光滑非参数回归
Nonsmooth Nonparametric Regression via Fractional Laplacian Eigenmaps
AI总结：
本文提出利用分数阶 Laplacian 的非参数回归方法，以处理属于 L2-分数阶 Sobolev 空间的非光滑回归函数，并证明样本内均方误差上界及其实证有效性。
摘要：
我们针对真实回归函数不一定光滑的情形开发了非参数回归方法。更具体地说，我们的方法使用分数阶 Laplacian，旨在处理真实回归函数位于阶数为 s∈(0,1) 的 L2-分数阶 Sobolev 空间中的情形。该函数类是一个 Hilbert 空间，介于平方可积函数空间与由可微函数组成的一阶 Sobolev 空间之间。它包含分数幂函数、分段常数或多项式函数以及 bump 函数作为典型示例。对于所提出的方法，我们证明了样本内均方估计误差的上界，其阶为 n^{-2s/(2s+d)}，其中 d 是维数，s 是上述阶数参数，n 是观测值数量。我们还提供了初步的实证结果，验证了所开发估计量的实际性能。
英文摘要：
We develop nonparametric regression methods for the case when the true regression function is not necessarily smooth. More specifically, our approach is using the fractional Laplacian and is designed to handle the case when the true regression function lies in an $L_2$-fractional Sobolev space with order $s\in (0,1)$. This function class is a Hilbert space lying between the space of square-integrable functions and the first-order Sobolev space consisting of differentiable functions. It contains fractional power functions, piecewise constant or polynomial functions and bump function as canonical examples. For the proposed approach, we prove upper bounds on the in-sample mean-squared estimation error of order $n^{-\frac{2s}{2s+d}}$, where $d$ is the dimension, $s$ is the aforementioned order parameter and $n$ is the number of observations. We also provide preliminary empirical results validating the practical performance of the developed estimators.
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