环 $\mathbb{F}_2[x]/\langle x^3-x \rangle$ 上 $C_D$-码的子域码确实非常出色！
Subfield codes of $C_D$-codes over $\mathbb{F}_2[x]/\langle x^3-x \rangle$ are really nice!
AI总结：
本文利用环 $\mathcal{R}_2$ 上的 $\mathbb{F}_2$-值迹研究由单纯复形定义的 $C_D$-码的二元子域码，确定其参数与重量分布，并构造多族极小、自正交、距离最优的 2-重量或 4-重量新码。
摘要：
从有限维交换 $\mathbb{F}$-代数到 $\mathbb{F}$ 的非零 $\mathbb{F}$-线性映射，若其核不包含任何非零理想，则称为 $\mathbb{F}$-值迹。本文利用 $\mathbb{F}_2$-代数 $\mathcal{R}_2:=\mathbb{F}_2[x]/\langle x^3-x\rangle$ 的一个 $\mathbb{F}_2$-值迹，对由某个单纯复形导出的每个定义集 $D$，研究 $\mathcal{C}_D:=\{\left(x\cdot d\right)_{d\in D}: x\in \mathcal{R}_2^m\}$ 的二元子域码 $\mathcal{C}_D^{(2)}$。对于 $m\in \mathbb{N}$ 和 $X\subseteq \{1,2,\dots,m\}$，定义 $Δ_X:=\{v\in \mathbb{F}_2^m:\Supp(v)\subseteq X\}$，并令 $D:=(1+u^2)D_1+u^2D_2+(u+u^2)D_3$，它是 $\mathcal{R}_2^m$ 的子集，其中 $u=x+\langle x^3-x\rangle$，且对 $L,M,N\subseteq \{1,2,\dots,m\}$，有 $D_1\in\{Δ_L,Δ_L^c\}$、$D_2\in\{Δ_M,Δ_M^c\}$ 和 $D_3\in\{Δ_N,Δ_N^c\}$。对每个 $D$，确定了 $\mathcal{C}_D$ 的二元子域码 $\mathcal{C}_D^{(2)}$ 的参数和 Hamming 重量分布。在关于 $L$、$M$ 和 $N$ 基数的某些温和条件下，这些二元子域码是极小码。此外，这些码大多是距离最优的。因此，得到了若干族极小、自正交且距离最优的二元线性码的无限族，它们或者是 2-重量码，或者是 4-重量码。值得一提的是，还获得了若干新的距离最优二元线性码。
英文摘要：
A non-zero $\mathbb{F}$-linear map from a finite-dimensional commutative $\mathbb{F}$-algebra to $\mathbb{F}$ is called an $\mathbb{F}$-valued trace if its kernel does not contain any non-zero ideals. In this article, we utilize an $\mathbb{F}_2$-valued trace of the $\mathbb{F}_2$-algebra $\mathcal{R}_2:=\mathbb{F}_2[x]/\langle x^3-x\rangle$ to study binary subfield code $\mathcal{C}_D^{(2)}$ of $\mathcal{C}_D:=\{\left(x\cdot d\right)_{d\in D}: x\in \mathcal{R}_2^m\}$ for each defining set $D$ derived from a certain simplicial complex. For $m\in \mathbb{N}$ and $X\subseteq \{1, 2, \dots, m\}$, define $Δ_X:=\{v\in \mathbb{F}_2^m: \Supp(v)\subseteq X\}$ and $D:=(1+u^2)D_1+u^2D_2+(u+u^2)D_3,$ a subset of $\mathcal{R}_2^m,$ where $u=x+\langle x^3-x\rangle, D_1\in \{Δ_L, Δ_L^c\},\, D_2\in \{Δ_M, Δ_M^c\}$ and $ D_3\in \{Δ_N, Δ_N^c\}$, for $L, M, N\subseteq \{1, 2, \dots, m\}.$ The parameters and the Hamming weight distribution of the binary subfield code $\mathcal{C}_D^{(2)}$ of $\mathcal{C}_D$ are determined for each $D.$ These binary subfield codes are minimal under certain mild conditions on the cardinalities of $L, M$ and $N$. Moreover, most of these codes are distance-optimal. Consequently, we obtain a few infinite families of minimal, self-orthogonal and distance-optimal binary linear codes that are either $2$-weight or $4$-weight. It is worth mentioning that we have obtained several new distance-optimal binary linear codes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
