带对合的代数中不可分解幂等元的唯一性
Uniqueness of indecomposable idempotents in algebras with involution
AI总结：
通过推广 Eichler 的格分解结果，本文证明了带正对合的有限维 $\mathbb{Q}$-代数阶中不可分解埃尔米特幂等元分解的唯一性，并据此确立了任意域上极化阿贝尔簇及积分 Hodge 结构的唯一分解定理。
摘要：
我们通过推广 Eichler 关于格的唯一分解的结果，证明了在带有正对合的有限维 $\mathbb{Q}$-代数的阶中，$1$ 分解为不可分解埃尔米特幂等元的唯一性。我们利用此结果证明，任意域上的极化阿贝尔簇可唯一分解为不可分解极化阿贝尔子簇，该结果此前由 Debarre 和 Serre 使用不同方法并在代数闭域上证明。我们还证明了对任意极化积分 Hodge 结构成立类似的唯一性结果，并导出了其自同构群的一个推论。
英文摘要：
We prove uniqueness of a decomposition of $1$ into indecomposable Hermitian idempotents in an order of a finite-dimensional $\mathbb{Q}$-algebra with positive involution, by generalising a result of Eichler on unique decomposition of lattices. We use this result to prove that polarised abelian varieties over any field admit a unique decomposition into indecomposable polarised abelian subvarieties, a result previously shown by Debarre and Serre with different methods and over algebraically closed fields. We prove that an analogous uniqueness result holds true for arbitrary polarised integral Hodge structures, and derive a consequence for their automorphism groups.
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