Concentration of the empirical level sets of Tukey's halfspace depth
Tukey深度，又称为半空间深度，在数据分析中引起了很大的兴趣，因为它是测量相对于点云的深度概念的自然方式，或者更一般地，相对于概率测度。根据身份证。样本，我们调查的Tukey深度相对于他们的人口版本周围的样本的上层集的浓度。我们还研究了浓度的上层集的离散版本的Tukey深度。
2017-02-09 math.ST stat.TH
Halfspace depths for scatter, concentration and shape matrices
我们提出了半空间深度的概念，散射，浓度和形状矩阵。对于散布矩阵，我们的概念类似于Chen，Gao和Ren（2017）和Zhang（2002）的概念。而不是集中，在这些早期的作品中，最深的散射矩阵，我们彻底调查拟议的深度和相应的深度区域的属性。我们在最小的假设下这样做，特别是，我们不限于椭圆分布，也不限于绝对连续分布。有趣的是，充分理解散射半空间深度需要考虑散射矩阵空间上的不同几何/拓扑。我们还讨论了，在Zuo和Serfling（2000）的精神，散射深度应该满足的结构属性，并调查这些是否满足散射半空间深度。还提出并研究了浓度矩阵和形状矩阵的深度概念。我们展示了实际相关的深度概念，考虑在一个真实的数据例子，从金融。
2017-10-26 math.ST stat.TH
Discussion of "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth"
讨论“多变量分位数和多输出回归分位数：从$L_1$优化到半空间深度”，M。Hallin，D. Paindaveine和M.西曼[arXiv：1002.4486]
2010-02-24 math.ST stat.TH
Discussion of "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth"
讨论“多变量分位数和多输出回归分位数：从$L_1$优化到半空间深度”，M。Hallin，D. Paindaveine和M.西曼[arXiv：1002.4486]
2010-02-24 math.ST stat.TH
Discussion of "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth"
讨论“多变量分位数和多输出回归分位数：从$L_1$优化到半空间深度”，M。Hallin，D. Paindaveine和M.西曼[arXiv：1002.4486]
2010-02-24 math.ST stat.TH
Rejoinder to "Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth"
对M.“多元分位数和多输出回归分位数：从$L_1$优化到半空间深度”的反驳。Hallin，D. Paindaveine和M.西曼[arXiv：1002.4486]
2010-02-24 math.ST stat.TH
Error Probabilities for Halfspace Depth
数据深度函数是一维顺序统计量和中位数到维度大于1的实空间的推广;特别地，数据深度函数量化了点相对于数据集或概率分布的中心性。最常研究的数据深度函数之一是半空间深度。它是感兴趣的计算几何学家，因为它是高度几何，它是感兴趣的统计学家，因为它共享许多理想的理论性质与一维中位数。随着样本量的增加，样本的半空间深度几乎肯定会收敛到基础分布的半空间深度。本文利用半空间深度的几何性质改进了收敛速度收敛速率的明确界。
2016-05-13 cs.CG math.PR math.ST
From Halfspace M-depth to Multiple-output Expectile Regression
尽管在计量经济学、风险管理和极值理论等领域对Newey和Powell（1987）的期望值概念重新产生了兴趣，但不幸的是，期望回归--或者更一般地说，M分位数回归--仍然局限于单输出问题。为了改善这一点，我们引入超平面值的多元M-分位数，表现出很强的优势，例如在等方差方面，在文献中的各种点值的多元M-分位数。像他们的竞争对手一样，我们的多元M分位数本质上是方向性的，并且在考虑所有方向时提供中心区域。这些区域定义了一个新的统计深度，半空间M-深度，其最深点，在预期的情况下，是均值向量。值得注意的是，半空间M-深度也可以通过在著名的Tukey（1975）半空间深度中用M-分位数离群度代替标准分位数离群度来获得，这支持了我们的多元M-分位数概念是自然概念的主张。我们彻底调查拟议的多元M-分位数，半空间M-深度，和相应的区域的属性。由于我们最初的动机是定义多输出期望回归方法，我们进一步专注于期望的情况。我们特别表明，预期的深度比Tukey深度更平滑，并且具有有趣的单调性特性，对于计算目的来说非常有前途。不同于他们的分位数类似物，建议的多元预期也满足多元风险措施的一致性公理。最后，我们表明，我们的多元预期确实允许执行多输出预期回归，这是说明了模拟和真实数据。
2019-05-29 math.ST stat.TH
Discriminating Tail Behavior Using Halfspace Depths: Population and Empirical Perspectives
本文研究半空间深度的经验版本，建立收敛速率与底层分布尾部行为的联系，并基于加权经验过程提出评估多元分布尾部行为的方法。
2025-06-01 math.ST stat.ME stat.TH
Uniform convergence rates for the approximated halfspace and projection depth
已知满足投影性质的某些深度（诸如半空间深度或投影深度）的计算复杂性是高的，特别是对于较高维度的数据。在这种情况下，精确的深度通常使用随机方法来近似：数据被投影到均匀分布在单位球体上的有限个方向上，并且这些单变量投影的最小深度用于近似真实深度。我们提供了这种近似过程的理论背景。建立了几个一致相合性结果，并给出了相应的一致收敛性。对于椭圆对称分布和半空间深度，它表明，所获得的一致收敛性率是尖锐的。特别是，随机投影的数量，以实现给定的精度的深度的选择的指导方针。
2019-10-14 math.ST stat.CO stat.TH
Data depth and floating body
讨论了半空间深度概念与凸几何和仿射几何概念之间的关系。半空间深度可以被认为是随机向量的对称性的度量。因此，深度代表了凸集对称性度量的推广，在几何学中得到了很好的研究。在一个温和的假设下，半空间深度的上水平集与用于定义欧几里得空间中凸体的仿射表面积的凸浮体一致。这些联系使我们能够部分地解决一些持久的开放问题的理论性质的深度。
2018-09-28 math.ST stat.AP stat.ME
Multivariate quantiles and multiple-output regression quantiles: From $L_1$ optimization to halfspace depth
基于Koenker和Bassett的传统回归分位数的方向版本，引入了一个新的多元分位数概念，用于多元位置和多输出回归问题。在他们的经验版本中，这些分位数可以通过线性规划技术有效地计算。建立了一致性、Bahadur表示和渐近正态性结果。最重要的是，由这些分位数生成的轮廓与经典的半空间深度轮廓相一致，与Tukey的名字相关联。这种关系不仅允许通过参数线性规划进行有效的深度等值线计算，而且还允许从分位数向深度全域转移诸如Bahadur表示的渐近结果。最后，线性规划对偶开辟了一条道路，有前途的发展，在深度相关的多元秩为基础的推理。
2010-02-24 math.ST stat.TH
Strong limit theorems for empirical halfspace depth trimmed regions
本文研究概率测度半空间深度的经验变体，证明了关于深度修剪区域集合包含及Hausdorff距离的强极限定理，并应用于凸体均匀分布情形下的凸浮动体经验估计。
2024-03-14 math.MG math.PR math.ST
Statistical Depth Function Random Variables for Univariate Distributions and induced Divergences
研究单变量分布中半空间与单纯形深度随机变量的分布规律，并据此定义和分析深度诱导散度及两样本估计优势。
2023-04-25 math.ST stat.CO stat.ME
The limit of finite sample breakdown point of Tukey's halfspace median for general data
在数据集和底层分布的特定条件下，文献中给出了Tukey半空间中值（$\frac{1} {3}$）有限样本崩溃点的极限.在本文中，我们建立了\emph{weaker assumption}下的基础分布（半空间对称性）和数据集（不需要在一般位置）的结果。作为我们推导的副产品，还获得了数据集\emph{not necessary in general position}的Tukey的样本深度区域的表示。
2016-04-25 math.ST stat.TH
Illumination depth
利用凸几何中的光照体概念，对多元数据的半空间深度进行了修正。所提出的照明的概念使得能够实现样本点的更精细的分辨率，自然地打破了相关的基于深度的排序中的联系，并且针对概率测度的支持的凸包之外的点引入了类似深度的函数。在某种意义上，照明是半空间深度映射的对偶，并且共享其大部分有益特性。它是仿射不变的，鲁棒的，一致一致的，并且与常见的概率分布很好地对齐。
2019-05-10 math.ST stat.TH
Extremal behaviour and convergence rates for sample--based geometric quantiles and half space depths
该研究分析基于样本的几何分位数与半空间深度的极值行为，建立收敛速率与基础分布尾部行为的关联，揭示样本量与极值参数的复杂作用，填补总体版本相关认知空白。
2024-02-04 math.ST stat.TH
Some results on the computing of Tukey's halfspace medain
深度的Tukey中位数的经验分布进行了研究。对于一般位置的数据集，为该值提供了更清晰的上界。该界限低于文献中的现有界限，更重要的是，该界限是在\emph{fixed}样本量实际情况下得出的。本文得到的几个结果是有趣的理论和有用的，以及实际上减少计算负担的Tukey中位数时，$p$是大相对于大$n$。
2016-04-20 math.ST stat.TH
Spatial medians, depth functions and multivariate Jensen's inequality
对$d$维欧几里得空间中任意给定的偏序，在较弱的正则性假设下，证明了包含概率质量大于1/2的闭（广义）区间的交是非空紧区间.这一性质与实数线上的公共区间相同，其中交点是基础概率分布的中值集。由此得到的关于偏序的多元中位数，可以看作是Y引入的D型深度函数意义下的分布中心的特殊情况。Zuo和R. Serfling，{ \em Ann. Stat.}，{ \bf 28}（2000），461-482.我们证明了半空间深度函数可以通过紧凸集来实现，或者，例如，闭球，代替半空间，并讨论了半空间和相关深度函数及其中心的结构性质。除其他事项外，我们证明，在一般情况下，最大的保证深度是$\frac{1}{d+1}$。作为这些结果的应用，我们给出了一个多元函数的Jensen型不等式，其中用中值代替期望，这是M. Merkle，{ \em Stat. Prob. Letters}，{ \bf 71}（2005），277--281.}
2008-10-09 math.ST stat.TH
Monge-Kantorovich Depth, Quantiles, Ranks, and Signs
我们提出了新的概念，统计深度，多元分位数，排名和标志，基于规范的运输之间的分布的兴趣$R^d$和参考分布的$d$维单位球的地图。新的深度概念，称为蒙格-康托洛维奇深度，专门用于球形分布的情况下的半空间深度，但是，对于更一般的分布，不同于后者的能力，其轮廓占非凸特征的分布的兴趣。我们提出了经验对应的人口版本的Monge Kantorovich的深度轮廓，分位数，排名和标志，并通过建立一个一致收敛性属性的经验运输地图，这是独立的利益，显示其一致性。
2015-09-21 econ.EM math.ST stat.TH
Polar Depth for Potentially Heavy-Tailed Data
LTCI, Télécom Paris, Institut Polytechnique de Paris（巴黎电信学院，巴黎理工学院）；Université Paris Cité, Université Paris Saclay, ENS Paris Saclay, CNRS, SSA, INSERM, Centre Borelli（巴黎西岱大学，巴黎萨克雷大学，巴黎高等师范学校巴黎萨克雷分校，法国国家科学研究中心，SSA，INSERM，博尔莱中心）
提出极坐标深度函数用于分析多元重尾分布的极端值，证明其在大阈值下收敛到极限分布，并应用于异常检测。
2026-05-29 math.ST stat.CO stat.ML
Extreme Geometric Quantiles Under Minimal Assumptions, with a Connection to Tukey Depth
Télécom Paris（巴黎电信学院）；ESSEC Business School（欧洲高等商学院）；TIFR-CAM（印度统计研究所班加罗尔中心）
本文在最小假设下研究了极端几何四分位数的性质，并揭示了其与Tukey深度之间的新联系。
2026-03-04 math.ST stat.TH
Local bilinear multiple-output quantile/depth regression
一个新的分位数回归的概念，基于定向版本的Koenker和巴塞特的传统的单输出之一，已被引入[安。（2010）38 635-669]，用于多输出位置/线性回归问题。然而，由该概念的经验对应物提供的多面体轮廓不能适应未知的非线性和/或异方差依赖性。因此，本文介绍了当地常数和当地的线性（实际上，双线性）版本的轮廓，这两个允许渐近恢复的条件半空间深度轮廓，完全表征响应的条件分布。建立了Bahadur表示和渐近正态性结果。在模拟和真实数据上都提供了插图。
2015-07-28 math.ST stat.TH
Horospherical Depth and Busemann Median on Hadamard Manifolds
Division of Mathematical Sciences（数学科学系）
本文提出了一种在 Hadamard 流形上统计深度的内在概念，定义了 Busemann 中位数作为其最大值集合。研究证明了深度区域的嵌套性和测地凸性，并在特定曲率条件下证明了中位数的唯一性和鲁棒性。
2026-05-13 cs.LG math.ST stat.ML
Depth Patterns and their Applications in Animal Tracking
本文基于Tukey半空间深度定义多元数据的序数模式，研究其概率估计的统计性质，并应用于海豹幼崽运动数据以选择二维随机游走模型。
2025-03-26 math.PR math.ST stat.TH
Bias robustness of depth estimators in multivariate settings
FAMAF, National University of Córdoba（科尔多瓦国立大学 FAMAF）；CIEM and CONICET, Argentina（阿根廷 CIEM 和 CONICET）；Department of Mathematics, National University of Río Cuarto, Argentina（里奥夸尔托国立大学数学系）
本文研究了多变量环境下深度估计器的偏置鲁棒性，分析了Tukey中位数、基于深度的散射矩阵和多元回归估计器的统计收敛性和鲁棒性。
2026-05-08 math.ST stat.TH
Curve Band Depth: A Band-Based Data Depth for Unparameterized Planar Curves
本文提出曲线带深度（CBD），一种基于带的深度度量，用于无参数平面曲线，通过几何带区域定义，并发展出积分、下确界和快速行走变体，具备理论性质，在手写分类、签名筛选和聚类任务中有效。
2026-09-29 cs.CG math.ST stat.TH
Differentially private multivariate medians
York University（约克大学）；University of Waterloo（滑铁卢大学）
本文系统研究了基于深度的多元中位数在差分隐私多元位置估计中的应用，开发了近乎极小最优的有限样本性能保证，并在高达100维的高斯污染模型下验证了其优于重尾估计代价的结论。
2025-09-18 cs.CR cs.LG math.ST
Improved performance guarantees for Tukey's median
University of Southern California（南加州大学）
本文改进了图基中位数的性能保证，展示了在椭圆对称分布下经验图基中位数的直径规模，并利用仿射等变性提升集中界限。
2026-01-10 math.PR math.ST stat.TH
