有限域上的近正交集
Nearly Orthogonal Sets over Finite Fields
AI总结：
本文研究有限域上的 $k$-近正交集，结合概率与谱方法证明其大小可达 $d^{\delta k^{1/(p-1)}/\log k}$，并在二元域上得到接近紧的下界。
摘要：
对于域 $\mathbb{F}$ 以及整数 $d$ 和 $k$，$\mathbb{F}^d$ 中的一个向量集合若满足其成员均非自正交，并且其中任意 $k+1$ 个向量都包含一对正交向量，则称其为 $k$-近正交的。我们证明，对于每个素数 $p$，都存在一个正常数 $\delta=\delta(p)$，使得对于每个特征为 $p$ 的域 $\mathbb{F}$，以及所有满足 $k \geq 2$ 和 $d \geq k^{1/(p-1)}$ 的整数，在 $\mathbb{F}^d$ 中都存在一个至少含 $d^{\delta\cdot k^{1/(p-1)}/\log k}$ 个向量的 $k$-近正交集。特别地，对于二元域，我们得到一个含 $d^{\Omega(k/\log k)}$ 个向量的集合，并且忽略指数中的 $\log k$ 项后这一结果是紧的。作为比较，实数域上已知的最佳下界是 $d^{\Omega(\log k/\log\log k)}$（Alon 和 Szegedy，Graphs and Combin.，1999）。该证明结合了概率论证和谱论证。
英文摘要：
For a field $\mathbb{F}$ and integers $d$ and $k$, a set of vectors of $\mathbb{F}^d$ is called $k$-nearly orthogonal if its members are non-self-orthogonal and every $k+1$ of them include an orthogonal pair. We prove that for every prime $p$ there exists a positive constant $δ= δ(p)$, such that for every field $\mathbb{F}$ of characteristic $p$ and for all integers $k \geq 2$ and $d \geq k^{1/(p-1)}$, there exists a $k$-nearly orthogonal set of at least $d^{δ\cdot k^{1/(p-1)}/ \log k}$ vectors of $\mathbb{F}^d$. In particular, for the binary field we obtain a set of $d^{Ω( k /\log k)}$ vectors, and this is tight up to the $\log k$ term in the exponent. For comparison, the best known lower bound over the reals is $d^{Ω( \log k / \log \log k)}$ (Alon and Szegedy, Graphs and Combin., 1999). The proof combines probabilistic and spectral arguments.
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