相对内平凡复形
Relatively endotrivial complexes
AI总结：
本文在有限群模表示论中引入相对内平凡链复形概念，给出其等价刻画与局部同调不变量，并证明其满足部分 Borel-Smith 条件，推广了 Lassueur 的相对内平凡模理论。
摘要：
设 $G$ 为有限群，$k$ 为特征 $p > 0$ 的域。在先前的工作中，我们研究了内平凡复形，即 $p$-置换 $kG$-模的有界同伦范畴 $K^b({}_{kG}\mathbf{triv})$ 中的可逆对象。利用相对于 $kG$-模的投射性概念，我们扩展了这一研究，定义了“相对”内平凡链复形的概念，类似于 Lassueur 对相对内平凡 $kG$-模的构造。我们得到了相对内平凡性的等价刻画，并找到了相应的局部同调数据，这些数据几乎完全决定了相对内平凡复形的同构类。我们证明这些局部数据必须部分满足 Borel-Smith 条件，并考虑了限制到包含 $G$ 的 Sylow $p$-子群 $S$ 的子群上的行为。
英文摘要：
Let $G$ be a finite group and $k$ be a field of characteristic $p > 0$. In prior work, we studied endotrivial complexes, the invertible objects of the bounded homotopy category $K^b({}_{kG}\mathbf{triv})$ of $p$-permutation $kG$-modules. Using the notion of projectivity relative to a $kG$-module, we expand on this study by defining notions of "relatively" endotrivial chain complexes, analogous to Lassueur's construction of relatively endotrivial $kG$-modules. We obtain equivalent characterizations of relative endotriviality and find corresponding local homological data which almost completely determine the isomorphism class of a relatively endotrivial complex. We show this local data must partially satisfy the Borel-Smith conditions, and consider the behavior of restriction to subgroups containing Sylow $p$-subgroups $S$ of $G$.
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