刻画其增强幂图具有全向顶点的有限群
Characterizing finite groups whose enhanced power graphs have universal vertices
AI总结：
本文刻画了有限群增强幂图具有全向顶点的条件，给出了可解群中全向顶点集非平凡的充要条件，并探讨了特定阶数下图的直径与全向顶点的关系。
摘要：
设 $G$ 为有限群，以 $G\setminus\{1\}$ 为顶点集构造图 $\Delta(G)$，若 $\langle x,y\rangle$ 为循环群，则在两个顶点 $x$ 和 $y$ 之间连边。令 $K(G)$ 为 $\Delta(G)$ 的全向顶点与单位元组成的集合。对于可解群 $G$，我们给出了 $K(G)$ 非平凡的必要且充分条件。我们还建立了当 $|G|$ 可被两个不同素数整除且 $\Delta(G)$ 的直径为 $2$ 时 $\Delta(G)$ 与 $K(G)$ 之间的联系。
英文摘要：
Let $G$ be a finite group and construct a graph $Δ(G)$ by taking $G\setminus\{1\}$ as the vertex set of $Δ(G)$ and by drawing an edge between two vertices $x$ and $y$ if $\langle x,y\rangle$ is cyclic. Let $K(G)$ be the set consisting of the universal vertices of $Δ(G)$ along the identity element. For a solvable group $G$, we present a necessary and sufficient conditon for $K(G)$ to be nontrivial. We also develop a connection between $Δ(G)$ and $K(G)$ when $|G|$ is divisible by two distinct primes and the diameter of $Δ(G)$ is $2$.
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