基于局部循环 $A_\infty$ 代数的组合型二维高阶拓扑量子场论
Combinatorial 2d higher topological quantum field theory from a local cyclic $A_\infty$ algebra
AI总结：
本文构建了二维高阶拓扑量子场论的组合类似物，通过指派给多边形的局部循环 $A_\infty$ 或 $\widehat{A}_\infty$ 代数的结构张量缩并为配边构造上链，并猜想存在 Pachner CW 复形以提供理想模型。
摘要：
我们构建了二维高阶拓扑量子场论的组合类似物。我们将三角剖分视为特定 CW 复形 $Ξ$ 的顶点。在“翻转理论”中，$Ξ_\mathrm{flip}$ 的胞元对应于通过擦除三角剖分中的边而获得的多边形分解。这些理论为配边 $Σ$ 指派 $Ξ_\mathrm{flip}$ 上的上链 $Z$，该上链被构造为指派给多边形的循环 $A_\infty$ 代数 $V$ 的结构张量的缩并。循环 $A_\infty$ 方程蕴含闭包方程 $(δ+Q)Z=0$。在此背景下，我们定义了组合 BV 算子，并给出了系数在 $\mathbb{Z}_2$ 中的示例。在“次级多面体理论”中，$Ξ_\mathrm{sp}$ 是次级多面体（由 Gelfand-Kapranov-Zelevinsky 提出），且循环 $A_\infty$ 代数必须被我们称为 $\widehat{A}_\infty$ 代数的适当精化所替代。我们猜想对于任何配边都存在一个良好的 Pachner CW 复形 $Ξ$，其局部组合学由次级多面体描述，且同伦型为 Zwiebach 的复结构模空间。基于该猜想，可得到由局部 $\widehat{A}_\infty$ 代数确定的组合型二维 HTQFT 的“理想模型”。
英文摘要：
We construct combinatorial analogs of 2d higher topological quantum field theories. We consider triangulations as vertices of a certain CW complex $Ξ$. In the "flip theory," cells of $Ξ_\mathrm{flip}$ correspond to polygonal decompositions obtained by erasing the edges in a triangulation. These theories assign to a cobordism $Σ$ a cochain $Z$ on $Ξ_\mathrm{flip}$ constructed as a contraction of structure tensors of a cyclic $A_\infty$ algebra $V$ assigned to polygons. The cyclic $A_\infty$ equations imply the closedness equation $(δ+Q)Z=0$. In this context we define combinatorial BV operators and give examples with coefficients in $\mathbb{Z}_2$. In the "secondary polytope theory," $Ξ_\mathrm{sp}$ is the secondary polytope (due to Gelfand-Kapranov-Zelevinsky) and the cyclic $A_\infty$ algebra has to be replaced by an appropriate refinement that we call an $\widehat{A}_\infty$ algebra. We conjecture the existence of a good Pachner CW complex $Ξ$ for any cobordism, whose local combinatorics is descibed by secondary polytopes and the homotopy type is that of Zwiebach's moduli space of complex structures. Depending on this conjecture, one has an "ideal model" of combinatorial 2d HTQFT determined by a local $\widehat{A}_\infty$ algebra.
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