关于 $a^x + b^y = c^z$ 在 $a$, $b$, $c$ 某些范围内至多一个解
At most one solution to $a^x + b^y = c^z$ for some ranges of $a$, $b$, $c$
AI总结：
本文证明了纯指数丢番图方程 $a^x+b^y=c^z$ 在特定范围内至多一个解，并推广到 Pillai 方程和 Jeśmanowicz 猜想，利用 Miyazaki-Pink 思想和 Scott 定理。
摘要：
我们考虑纯指数丢番图方程 $a^x+b^y =c^z$（其中 $\gcd(a,b)=1$）在正整数 $(x,y,z)$ 中解的数量。除了一列已知例外，2016年发表的一个猜想声称该方程在正整数 $x$, $y$, $z$ 中至多有一个解。我们证明这在 $a$, $b$, $c$ 的某些范围内成立，例如当 $1 < a,b < 3600$ 且 $c<10^{10}$ 时。该猜想对于与 $c$ 无关的小对 $(a,b)$ 也成立，其中 $2 \le a,b \le 10$ 且 $\gcd(a,b)=1$。我们证明当 $2 \le a,b \le 3600$ 时，Pillai 方程 $a^x - b^y = r > 0$ 至多有一个解（除已知例外列表外）。最后，Jeśmanowicz 猜想的原始情形在 $a \le 10^6$ 或 $b \le 10^6$ 时成立。这项工作凸显了 Miyazaki 和 Pink 的一些思想的力量以及 Scott 定理的实用性。
英文摘要：
We consider the number of solutions in positive integers $(x,y,z)$ for the purely exponential Diophantine equation $a^x+b^y =c^z$ (with $\gcd(a,b)=1$). Apart from a list of known exceptions, a conjecture published in 2016 claims that this equation has at most one solution in positive integers $x$, $y$, and $z$. We show that this is true for some ranges of $a$, $b$, $c$, for instance, when $1 < a,b < 3600$ and $c<10^{10}$. The conjecture also holds for small pairs $(a,b)$ independent of $c$, where $2 \le a,b \le 10$ with $\gcd(a,b)=1$. We show that the Pillai equation $a^x - b^y = r > 0$ has at most one solution (with a known list of exceptions) when $2 \le a,b \le 3600$. Finally, the primitive case of the Jeśmanowicz conjecture holds when $a \le 10^6$ or when $b \le 10^6$. This work highlights the power of some ideas of Miyazaki and Pink and the usefulness of a theorem by Scott.
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