实线上点质量拉普拉斯变换到傅里叶域转换的特征函数方法
An Eigenfunction Approach to Conversion of the Laplace Transform of Point Masses on the Real Line to the Fourier Domain
AI总结：
针对磁共振弛豫测量中的拉普拉斯变换参数估计问题，提出利用Hermite函数作为傅里叶变换特征函数的性质，将实指数问题转化为虚指数问题，并初步验证了含噪参数提取效果。
摘要：
受磁共振弛豫测量应用的启发，我们考虑以下问题：给定函数 $t\mapsto \sum_{k=1}^K A_k\exp(-tλ_k)$ 的样本，其中 $K\ge 2$ 为整数，$A_k\in\mathbb{R}$，$λ_k>0$（$k=1,\cdots, K$），确定 $K$、$A_k$ 和 $λ_k$。与 $λ_k$ 为纯虚数的情况不同，该问题以严重不适定性而著称。我们的目标是证明该问题可以转化为一个等价问题，其中 $λ_k$ 被替换为 $iλ_k$。我们表明，这可以通过使用 Hermite 函数进行近似来实现，并利用这些函数是傅里叶变换的特征函数这一事实。我们对该形式体系中的参数提取进行了初步数值探索，包括噪声的影响。我们不声称已消除原始问题的固有不适定性，数值结果也反映了这一点。
英文摘要：
Motivated by applications in magnetic resonance relaxometry, we consider the following problem: Given samples of a function $t\mapsto \sum_{k=1}^K A_k\exp(-tλ_k)$, where $K\ge 2$ is an integer, $A_k\in\mathbb{R}$, $λ_k>0$ for $k=1,\cdots, K$, determine $K$, $A_k$'s and $λ_k$'s. Unlike the case in which the $λ_k$'s are purely imaginary, this problem is notoriously ill-posed. Our goal is to show that this problem can be transformed into an equivalent one in which the $λ_k$'s are replaced by $iλ_k$. We show that this may be accomplished by approximation in terms of Hermite functions, and using the fact that these functions are eigenfunctions of the Fourier transform. We present a preliminary numerical exploration of parameter extraction from this formalism, including the effect of noise. We do not claim to have eliminated the inherent ill-posedness of the original problem, as reflected in the numerical results.
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