Freeze-Tag 问题在 $L_1$ 范数下的唤醒时间为五
Freeze-Tag in $L_1$ has Wake-up Time Five
AI总结：
本文解决了 Freeze-Tag 问题在 $L_1$ 范数下的精确完工时间界限，证明至多 $5r$ 的唤醒时间可实现且最优，并给出 $O(n)$ 时间的最优调度算法，同时改进 $L_2$ 范数下的上界至 $5\sqrt{2}r$。
摘要：
Freeze-Tag 问题由 Arkin 等人 (SODA'02) 提出，其内容为从单个活跃机器人开始，唤醒一群 $n$ 个机器人。在基本的几何版本中，每个机器人都有平面上的坐标。一旦一个机器人被唤醒，它就可以向未激活的机器人移动以唤醒它们。目标是使最后一个机器人的唤醒时间（即完工时间）最小化。尽管在该问题的计算复杂性和近似算法方面取得了显著进展，但完工时间精确界限的表征仍然是主要开放问题之一。在本文中，我们解决了 $\ell_1$-范数下的该问题，证明总能实现至多 $5r$ 的完工时间，其中 $r$ 是初始活跃机器人与任何休眠机器人之间的最大距离。此外，可以在最优时间 $O(n)$ 内计算出达到至多 $5r$ 完工时间的调度。时间和完工时间这两个界限都是最优的。这暗示了在 $\ell_2$-范数下完工时间的新上界为 $5\sqrt{2}r \approx 7.07r$，改进了迄今为止已知的最佳界限 $(5+2\sqrt{2}+\sqrt{5})r \approx 10.06r$。
英文摘要：
The Freeze-Tag Problem, introduced in Arkin et al. (SODA'02) consists of waking up a swarm of $n$ robots, starting from a single active robot. In the basic geometric version, every robot is given coordinates in the plane. As soon as a robot is awakened, it can move towards inactive robots to wake them up. The goal is to minimize the wake-up time of the last robot, the makespan. Despite significant progress on the computational complexity of this problem and on approximation algorithms, the characterization of exact bounds on the makespan remains one of the main open questions. In this paper, we settle this question for the $\ell_1$-norm, showing that a makespan of at most $5r$ can always be achieved, where $r$ is the maximum distance between the initial active robot and any sleeping robot. Moreover, a schedule achieving a makespan of at most $5r$ can be computed in optimal time $O(n)$. Both bounds, the time and the makespan are optimal. This implies a new upper bound of $5\sqrt{2}r \approx 7.07r$ on the makespan in the $\ell_2$-norm, improving the best known bound so far $(5+2\sqrt{2}+\sqrt{5})r \approx 10.06r$.
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