有限随机结构的一阶复杂度
First order complexity of finite random structures
AI总结：
本文提出有限随机结构的一阶复杂度概念，建立复杂度类层级和随机一阶归约工具，推导新的逻辑极限律，并证明使0-1律成立的语句集合不可递归枚举。
摘要：
对于关系型签名上具有 n 元素域的一列随机结构，我们将其一阶（FO）复杂度定义为 Banach 空间 ℓ∞/c0 中的某个子集。众所周知的一阶零一律和一阶收敛律分别对应于等于 {0,1} 和 ℝ 的某个子集的一阶复杂度。我们给出了一阶复杂度类的层级，引入了一种随机一阶归约，它允许在不同随机结构之间传递复杂度结果，并利用这一工具推导出二项随机结构的若干新的逻辑极限律。最后，我们引入了一个受一阶语句 φ 约束的图上的条件分布，它推广了某些众所周知的随机图模型，展示了每个复杂度类下该分布的实例，并证明了所有使 0-1 律成立的 φ 的集合不是递归可枚举的。
英文摘要：
For a sequence of random structures with $n$-element domains over a relational signature, we define its first order (FO) complexity as a certain subset in the Banach space $\ell^{\infty}/c_0$. The well-known FO zero-one law and FO convergence law correspond to FO complexities equal to $\{0,1\}$ and a subset of $\mathbb{R}$, respectively. We present a hierarchy of FO complexity classes, introduce a stochastic FO reduction that allows to transfer complexity results between different random structures, and deduce using this tool several new logical limit laws for binomial random structures. Finally, we introduce a conditional distribution on graphs, subject to a FO sentence $φ$, that generalises certain well-known random graph models, show instances of this distribution for every complexity class, and prove that the set of all $φ$ validating 0--1 law is not recursively enumerable.
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