球面中完备子流形的精确夹挤定理
Sharp pinching theorems for complete submanifolds in the sphere
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中文总结 AI 辅助
本文利用共形方法将球面中极小浸入子流形及常平均曲率超曲面的经典紧致夹挤定理推广至完备情形，并给出了第二基本形式或脐张量在最优界下的精确分类结果。
中文摘要 AI 辅助
我们证明了每个完备且极小浸入的子流形 $f\\: M^n \to \mathbb{S}^{n+p}$，若其第二基本形式满足 $|A|^2 \le np/(2p-1)$，则它要么是全测地的，要么是 Clifford 极小超曲面（的一个覆盖）或 $\mathbb{S}^4$ 中的 Veronese 曲面，从而将 Simons、Lawson 以及 Chern、do Carmo & Kobayashi 的著名结果从紧致情形推广到完备的 $M^n$。对于具有非零常平均曲率的完备超曲面，我们在脐张量的最优界下，得到了 Alencar & do Carmo 在紧致情形下的对应结果。在维数 $n \le 6$ 时，我们证明了具有非零平行平均曲率的完备高余维数子流形的夹挤定理，部分推广了 Santos 之前的工作。我们的方法受到了 Fischer-Colbrie、Shen & Ye 以及 Catino、Mastrolia & Roncoroni 的共形方法的启发。
英文摘要
We prove that every complete, minimally immersed submanifold $f\: M^n \to \mathbb{S}^{n+p}$ whose second fundamental form satisfies $|A|^2 \le np/(2p-1)$, is either totally geodesic, or (a covering of) a Clifford torus or a Veronese surface in $\mathbb{S}^4$, thereby extending the well-known results by Simons, Lawson and Chern, do Carmo & Kobayashi from compact to complete $M^n$. We also obtain the corresponding result for complete hypersurfaces with nonvanishing constant mean curvature, due to Alencar & do Carmo in the compact case, under the optimal bound on the umbilicity tensor. In dimension $n \le 6$, a pinching theorem for complete higher-codimensional submanifolds with non-vanishing parallel mean curvature is proved, partly generalizing previous work of Santos. Our approach is inspired by the conformal method of Fischer-Colbrie, Shen & Ye and Catino, Mastrolia & Roncoroni.
