迈向完备的局部-整体原理
Towards a Complete Local-Global Principle
AI总结：
本文研究边等周问题中嵌套解从二次笛卡尔幂向任意有限次笛卡尔幂的传递性，在一般假设下证明了局部-整体原理，并构造反例否定了 Bezrukov 和 Elsässer 关于字典序最优蕴含正则图的猜想。
摘要：
Ahlswede 和 Cai 证明了：如果一个简单图在边等周问题下具有嵌套解（NS），且字典序（lex）对其二次笛卡尔幂产生 NS，那么字典序对任意有限次笛卡尔幂也产生 NS。在非常一般的假设下，我们证明：如果一个图及其二次笛卡尔幂具有 NS，那么任意有限次笛卡尔幂也具有 NS。Harper 曾问在没有任何限制的情况下该结论是否成立。我们也猜想它成立。文献中研究过的所有字典序最优的图都是正则图。这促使 Bezrukov 和 Elsässer 猜想：如果字典序对二次笛卡尔幂是最优的，那么原图是正则图。本文给出了该猜想的一个反例。
英文摘要：
Ahlswede and Cai proved that if a simple graph has nested solutions (NS) under the edge-isoperimetric problems, and the lexicographic (lex) order produces NS for its second cartesian power,then the lex order produces NS for any finite cartesian power. Under very general assumptions, we prove that if a graph and its second cartesian power have NS,then so does any finite cartesian power. Harper asked if this is true without any restriction. We also conjecture that it is. All graphs studied in the literature for which the lex order is optimal are regular. This lead Bezrukov and Elsässer to conjecture that if the lex order is optimal for the second cartesian power, then the original graph is regular. A counterexample to this conjecture is provided.
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