关于由变化奇异性塑造的自由边界问题
On free boundary problems shaped by varying singularities
AI总结：
本文研究奇异幂$γ(x)$随空间变化的自由边界变分模型，在温和连续性条件下证明极小化元的最优正则性，并利用新单调性公式证明当$γ(x)$具有$W^{1,n^{+}}$正则性时自由边界局部为$C^{1,δ}$曲面。
摘要：
我们开始研究具有变化奇异性的自由边界变分模型。该理论强烈依赖于奇异幂$γ(x)$的性质及其变化方式。在对$γ(x)$的温和连续性假设下，我们证明了极小化元的最优正则性。此类估计逐点变化，导致自由边界几何形成一个连续统。我们还对由奇异性塑造的自由边界进行了广泛分析。利用一个新的单调性公式，我们证明如果奇异幂$γ(x)$以$W^{1,n^{+}}$方式变化，则自由边界局部为$C^{1,δ}$曲面，至多相差一个Hausdorff余维数至少为$2$的可忽略奇异集。
英文摘要：
We start the investigation of free boundary variational models featuring varying singularities. The theory depends strongly on the nature of the singular power $γ(x)$ and how it changes. Under a mild continuity assumption on $γ(x)$, we prove the optimal regularity of minimizers. Such estimates vary point-by-point, leading to a continuum of free boundary geometries. We also conduct an extensive analysis of the free boundary shaped by the singularities. Utilizing a new monotonicity formula, we show that if the singular power $γ(x)$ varies in a $W^{1,n^{+}}$ fashion, then the free boundary is locally a $C^{1,δ}$ surface, up to a negligible singular set of Hausdorff co-dimension at least $2$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
