对称超空间的限制定理与根系
Restriction Theorems and Root Systems for Symmetric Superspaces
AI总结：
本文研究了有限维 Kac-Moody 李超代数特定对合下的限制定理，明确了不变多项式代数的结构与生成元，并引入广义限制根系证明其始终构成该系统。
摘要：
本文考虑有限维 Kac-Moody 李超代数 $\mathfrak g$ 的对合 $θ$，其相关分解为 $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p$，且 $\mathfrak p_{\bar 0}$ 中的 Cartan 子空间 $\mathfrak a$ 在 $\mathfrak p$ 中是自中心化的。对于这样的 $θ$，从 $\mathfrak p$ 到 $\mathfrak a$ 的限制映射 $C_θ$ 在 $\mathfrak p$ 上的 $\mathfrak k$-不变多项式代数 $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ 上是单射。此类对合有五个无限族和五个例外情形，对于每种情形，我们通过给出 $C_θ$ 像的一组完整生成元，明确确定了 $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ 的结构。我们还精确确定了从 $P(\mathfrak g)^{\mathfrak g}$ 到 $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ 的限制映射 $R_θ$ 何时是满射。最后，我们引入了广义限制根系的概念，并证明在当前设定下，$\mathfrak a$-根 $Δ(\mathfrak a,\mathfrak g)$ 总是构成这样的系统。
英文摘要：
In this paper we consider those involutions $θ$ of a finite-dimensional Kac-Moody Lie superalgebra $\mathfrak g$, with associated decomposition $\mathfrak g=\mathfrak k\oplus\mathfrak p$, for which a Cartan subspace $\mathfrak a$ in $\mathfrak p_{\bar 0}$ is self-centralizing in $\mathfrak p$. For such $θ$ the restriction map $C_θ$ from $\mathfrak p$ to $\mathfrak a$ is injective on the algebra $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ of $\mathfrak k$-invariant polynomials on $\mathfrak p$. There are five infinite families and five exceptional cases of such involutions, and for each case we explicitly determine the structure of $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ by giving a complete set of generators for the image of $C_θ$. We also determine precisely when the restriction map $R_θ$ from $P(\mathfrak g)^{\mathfrak g}$ to $P(\mathfrak p)^{\mathfrak k}$ is surjective. Finally we introduce the notion of a generalized restricted root system, and show that in the present setting the $\mathfrak a$-roots $Δ(\mathfrak a,\mathfrak g)$ always form such a system.
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