Kleene 第二模型的完备化
Completions of Kleene's second model
AI总结：
本文研究 pcas 的可嵌入性与完备化，将可数 pca 可弱嵌入 $\mathcal{K}_2$ 的结果推广至任意基数，并证明 $\mathcal{K}_2$ 及其推广具有强完备化。
摘要：
我们研究部分组合代数（pcas）的完备化，特别是 Kleene 第二模型 $\mathcal{K}_2$ 及其推广的完备化。我们考察文献中此前已研究过的弱与强两种可嵌入性和完备化概念。已知每个可数 pca 都可弱嵌入到 $\mathcal{K}_2$ 中，而我们通过考虑针对更大基数的 $\mathcal{K}_2$ 推广，将此结论推广到任意基数。这凸显了 $\mathcal{K}_2$ 在 pcas 研究中的核心作用。我们还证明了 $\mathcal{K}_2$ 及其推广具有强完备化。
英文摘要：
We investigate completions of partial combinatory algebras (pcas), in particular of Kleene's second model $\mathcal{K}_2$ and generalizations thereof. We consider weak and strong notions of embeddability and completion that have been studied before in the literature. It is known that every countable pca can be weakly embedded into $\mathcal{K}_2$, and we generalize this to arbitrary cardinalities by considering generalizations of $\mathcal{K}_2$ for larger cardinals. This emphasizes the central role of $\mathcal{K}_2$ in the study of pcas. We also show that $\mathcal{K}_2$ and its generalizations have strong completions.
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