$\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ 不是纯矩阵域
$\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ is not purely matricial field
AI总结：
本文证明 $\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ 的每个有限维酉表示都有非零 $\mathrm{SL}_{2}(\mathbf{Z})$ 不变向量，从而其约化 $C^*$-代数不能嵌入矩阵代数超积，表明它不是纯矩阵域。
摘要：
我们证明了 $\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ 的每个有限维酉表示都包含一个非零的 $\mathrm{SL}_{2}(\mathbf{Z})$ 不变向量。因此，不存在 $\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ 的有限维表示序列，使得其约化 $C^*$-代数嵌入到矩阵代数的超积中。
英文摘要：
We prove that every finite dimensional unitary representation of $\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ contains a non-zero $\mathrm{SL}_{2}(\mathbf{Z})$-invariant vector. As a consequence, there is no sequence of finite-dimensional representations of $\mathrm{SL}_{4}(\mathbf{Z})$ that gives rise to an embedding of its reduced $C^*$-algebra into an ultraproduct of matrix algebras.
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