高阶 dimer 模型
Higher-rank dimer models
AI总结：
本文将 dimer 模型推广到顶点带重数的 multiweb，通过连接与 Kasteleyn 矩阵建立行列式公式，并给出自由费米子顶点模型解及等价标量系统。
摘要：
设 $G$ 为边从黑色顶点指向白色顶点的二部平面图。对每个顶点 $v$，令 $n_v$ 为正整数。$G$ 中的 multiweb 是在顶点 $v$ 处具有重数 $n_v$ 的多重图。一个连接是对边上线性映射的选择 $Φ=\{ϕ_{bw}\}_{bw\in E}$，其中 $ϕ_{bw}\in \mathrm{Hom}({\mathbb R}^{n_b},{\mathbb R}^{n_w})$。与 $Φ$ 相关的是 multiweb 上的一个函数，即迹 $Tr_Φ$。在此设定下，我们定义了一个相关的 Kasteleyn 矩阵 $K=K(Φ)$，并将 $\det K$ 写成所有 multiweb 的迹之和。这推广了 Kasteleyn 定理以及 [Douglas、Kenyon、Shi：Dimers, webs, and local systems, Trans. AMS 2023] 的结果。我们研究具有正迹的连接，并定义 multiweb 上的相关概率测度。通过谨慎选择连接，我们因而可以编码顶点模型（例如 $6$ 顶点模型和 $20$ 顶点模型）的“自由费米子”子簇，尤其给出行列式解。我们还为每个 multiweb 系统找到一个等价的标量系统，即一个平面二部图 $H$，以及一个从 $H$ 的 dimer 覆盖到 $G$ 上 multiweb 的保持测度的局部映射。我们将一族正连接识别为其标量版本具有正面权重的那些连接。
英文摘要：
Let $G$ be a bipartite planar graph with edges directed from black to white. For each vertex $v$ let $n_v$ be a positive integer. A multiweb in $G$ is a multigraph with multiplicity $n_v$ at vertex $v$. A connection is a choice of linear maps on edges $Φ=\{ϕ_{bw}\}_{bw\in E}$ where $ϕ_{bw}\in \mathrm{Hom}({\mathbb R}^{n_b},{\mathbb R}^{n_w})$. Associated to $Φ$ is a function on multiwebs, the trace $Tr_Φ$. We define an associated Kasteleyn matrix $K=K(Φ)$ in this setting and write $\det K$ as the sum of traces of all multiwebs. This generalizes Kasteleyn's theorem and the result of [Douglas, Kenyon, Shi: Dimers, webs, and local systems, Trans. AMS 2023]. We study connections with positive traces, and define the associated probability measure on multiwebs. By careful choice of connection we can thus encode the "free fermionic" subvarieties for vertex models such as the $6$-vertex model and $20$-vertex models, and in particular give determinantal solutions. We also find for each multiweb system an equivalent scalar system, that is, a planar bipartite graph $H$ and a local measure-preserving mapping from dimer covers of $H$ to multiwebs on $G$. We identify a family of positive connections as those whose scalar versions have positive face weights.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
