无界 Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani 不确定性原理
Unbounded Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani Uncertainty Principles
AI总结：
本文在 Banach 空间的无界连续 p-Schauder 框架下建立了无界 Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani 不确定性原理，统一并改进了多个经典不确定性原理。
摘要：
设 $(Ω, μ)$、$(Δ, ν)$ 为测度空间，且 $p=1$ 或 $p=\infty$。设 $(\{f_α\}_{α\in Ω}, \{τ_α\}_{α\in Ω})$ 和 $(\{g_β\}_{β\in Δ}, \{ω_β\}_{β\in Δ})$ 是 Banach 空间 $\mathcal{X}$ 的无界连续 p-Schauder 框架。则对于每个 $x \in ( \mathcal{D}(θ_f) \cap\mathcal{D}(θ_g))\setminus\{0\}$，我们证明 \begin{align}\label{UB} (1) \quad \quad \quad \quad μ(\operatorname{supp}(θ_f x))ν(\operatorname{supp}(θ_g x)) \geq \frac{1}{\left(\displaystyle\sup_{α\in Ω, β\in Δ}|f_α(ω_β)|\right)\left(\displaystyle\sup_{α\in Ω, β\in Δ}|g_β(τ_α)|\right)}, \end{align} 其中 \begin{align*} &θ_f:\mathcal{D}(θ_f) \ni x \mapsto θ_fx \in \mathcal{L}^p(Ω, μ); \quad θ_fx: Ω\ni α\mapsto (θ_fx) (α):= f_α(x) \in \mathbb{K},\\\\ &θ_g: \mathcal{D}(θ_g) \ni x \mapsto θ_gx \in \mathcal{L}^p(Δ, ν); \quad θ_gx: Δ\ni β\mapsto (θ_gx) (β):= g_β(x) \in \mathbb{K}. \end{align*} 我们将不等式 (1) 称为无界 Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani 不确定性原理。结合最近的函数连续不确定性原理 [arXiv:2308.00312]，不等式 (1) 也改进了 Ricaud-Torrésani 不确定性原理 [IEEE Trans. Inform. Theory, 2013]。特别地，它改进了 Elad-Bruckstein 不确定性原理 [IEEE Trans. Inform. Theory, 2002] 和 Donoho-Stark 不确定性原理 [SIAM J. Appl. Math., 1989]。
英文摘要：
Let $(Ω, μ)$, $(Δ, ν)$ be measure spaces and $p=1$ or $p=\infty$. Let $(\{f_α\}_{α\in Ω}, \{τ_α\}_{α\in Ω})$ and $(\{g_β\}_{β\in Δ}, \{ω_β\}_{β\in Δ})$ be unbounded continuous p-Schauder frames for a Banach space $\mathcal{X}$. Then for every $x \in ( \mathcal{D}(θ_f) \cap\mathcal{D}(θ_g))\setminus\{0\}$, we show that \begin{align}\label{UB} (1) \quad \quad \quad \quad μ(\operatorname{supp}(θ_f x))ν(\operatorname{supp}(θ_g x)) \geq \frac{1}{\left(\displaystyle\sup_{α\in Ω, β\in Δ}|f_α(ω_β)|\right)\left(\displaystyle\sup_{α\in Ω, β\in Δ}|g_β(τ_α)|\right)}, \end{align} where \begin{align*} &θ_f:\mathcal{D}(θ_f) \ni x \mapsto θ_fx \in \mathcal{L}^p(Ω, μ); \quad θ_fx: Ω\ni α\mapsto (θ_fx) (α):= f_α(x) \in \mathbb{K},\\ &θ_g: \mathcal{D}(θ_g) \ni x \mapsto θ_gx \in \mathcal{L}^p(Δ, ν); \quad θ_gx: Δ\ni β\mapsto (θ_gx) (β):= g_β(x) \in \mathbb{K}. \end{align*} We call Inequality (1) as \textbf{Unbounded Donoho-Stark-Elad-Bruckstein-Ricaud-Torrésani Uncertainty Principle}. Along with recent \textbf{Functional Continuous Uncertainty Principle} [arXiv:2308.00312], Inequality (1) also improves Ricaud-Torrésani uncertainty principle [IEEE Trans. Inform. Theory, 2013]. In particular, it improves Elad-Bruckstein uncertainty principle [IEEE Trans. Inform. Theory, 2002] and Donoho-Stark uncertainty principle [SIAM J. Appl. Math., 1989].
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